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### 数值分析习题集及答案知识点解析 #### 第一章 绪论 - **知识点1：相对误差的计算** - **描述**：考察如何根据一个量的相对误差来计算另一个通过该量导出的新量的相对误差。 - **示例题目1**：已知\(x > 0\)，\(x\)的相对误差为\(\delta\)，求\(\sqrt{x}\)的相对误差。 - **解析**：设\(\sqrt{x}\)的相对误差为\(\delta'\)，根据相对误差的定义，我们有： \[ \delta' = \left|\frac{\Delta \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right| = \left|\frac{d(\sqrt{x})}{dx} \cdot \delta x\right| = \frac{1}{2\sqrt{x}}\delta x \] 因此，\(\delta'\)可以通过\(\delta\)和\(x\)计算得出。 - **示例题目2**：如果\(x\)的相对误差为2%，求\(\sqrt{x}\)的相对误差。 - **解析**：利用上述方法，我们可以得出\(\sqrt{x}\)的相对误差大约也是2%左右，因为\(\delta'\)与\(\delta\)在数值上相近。 - **知识点2：有效数字的识别** - **描述**：通过观察近似数的结构来确定其有效数字的数量。 - **示例题目3**：下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，请判断它们的有效数字数量：例如，3.14159 和 0.001234。 - **解析**：3.14159 有6位有效数字；0.001234 有4位有效数字。有效数字是指那些确定了的数字加上第一个不确定的数字。 - **知识点3：误差限的计算** - **描述**：使用特定公式计算近似值的误差限。 - **示例题目4**：对于给定的数，利用公式计算误差限。 - **解析**：具体到每个数，我们需要根据公式计算误差限。例如，对于数3.14159，如果已知它是通过四舍五入得到的，则其误差限不会超过最后一位的半个单位。 - **知识点4：误差传播** - **描述**：计算在给定条件下，量的测量误差如何影响最终结果的误差。 - **示例题目5**：为了计算球体体积，其相对误差限为1%，那么度量半径\(R\)时允许的最大相对误差是多少？ - **解析**：球体积的公式为\(V = \frac{4}{3}\pi R^3\)。相对误差的传播规律表明，对于乘方运算，相对误差会放大倍数等于指数的值。因此，为了保证球体积的相对误差为1%，半径\(R\)的相对误差应小于或等于1/3。 - **知识点5：递推公式的误差分析** - **描述**：分析递推公式计算过程中可能出现的累积误差。 - **示例题目6**：根据递推公式计算某量，如\(x_{n+1} = x_n + h\)，\(n = 1, 2, …\)，若初始值有误差，试分析计算结果的误差大小。 - **解析**：通过分析递推公式的性质以及初值误差的影响，可以推算出最终计算结果的误差大小。 - **知识点6：非线性方程的根的近似** - **描述**：使用数值方法求解非线性方程的根，并确保结果的精度。 - **示例题目7**：求方程\(x^2 - 4 = 0\)的两个根，使它们至少具有四位有效数字。 - **解析**：可通过牛顿迭代法或其他数值方法求解方程，确保结果至少包含四位有效数字。 - **知识点7：极限的近似** - **描述**：利用数值方法求解当\(N\)充分大时某个表达式的极限值。 - **示例题目8**：当\(N\)充分大时，如何求\(\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k^2}\)？ - **解析**：可以使用数值积分或序列求和的方法逐步逼近极限值。 - **知识点8：面积测量的误差控制** - **描述**：为了使面积测量的误差不超过某一阈值，需要精确地测量边长。 - **示例题目9**：正方形的边长大约为100cm，为了使面积的误差不超过1cm²，应该如何测量边长？ - **解析**：正方形面积\(A = L^2\)，其中\(L\)为边长。要使面积误差不超过1cm²，边长测量的相对误差应该小于或等于\(1/(2L)\)。 - **知识点9：复合函数的误差分析** - **描述**：分析由多个简单函数组合而成的复合函数的误差。 - **示例题目13**：给定函数\(f(x) = \log(\sqrt{x})\)，求\(f(30)\)的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？ - **解析**：利用函数表计算\(\sqrt{30}\)的值，然后求对数。对于不同的计算方法，误差分析有所不同，需要具体分析每种方法的误差来源。 - **知识点10：线性系统的求解** - **描述**：解决线性代数方程组的问题，尤其是在有限精度计算的情况下。 - **示例题目14**：试用消元法解方程组\(Ax = b\)，假设只用三位数计算，问结果是否可靠？ - **解析**：在有限精度下求解线性系统可能会导致较大的舍入误差，需要评估解的可靠性。 #### 第二章 插值法 - **知识点11：多项式插值** - **描述**：使用多项式插值方法来逼近数据点。 - **示例题目1**：根据定义的范德蒙行列式，令\(p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i\)，证明\(p(x)\)是\(n\)次多项式，其根是\(x_0, x_1, ..., x_n\)，且\(p(x_j) = y_j\)。 - **解析**：通过构建范德蒙矩阵并求解系数向量\(a\)来证明多项式插值问题的唯一性。 - **知识点12：分段插值** - **描述**：使用分段多项式来逼近复杂曲线。 - **示例题目21**：设\(f(x) = x^2\)，在\([0, 1]\)上取节点，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点间中点处的\(f(x)\)与插值函数的值，并估计误差。 - **解析**：通过构建分段线性插值函数并计算各节点间中点处的实际函数值与插值函数值之间的差异来估计误差。 - **知识点13：埃尔米特插值** - **描述**：在给定点处不仅匹配函数值，还匹配导数值的插值方法。 - **示例题目17**：证明两点三次埃尔米特插值余项是\(R(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-x_0)^2(x-x_1)^2\)，并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。 - **解析**：使用埃尔米特插值的理论来证明余项公式，并基于此分析误差限。 - **知识点14：样条插值** - **描述**：使用样条函数来逼近数据点。 - **示例题目25**：若\(S(x)\)是三次样条函数，证明(i) \(S(x)\)在节点上二阶导数连续；(ii) 若\(S(x)\)在节点\(x_i\)处的二阶导数为0，则\(S''(x)\)在整个区间上为0。 - **解析**：通过分析三次样条函数的性质来证明上述结论。 - **知识点15：插值多项式的性质** - **描述**：分析插值多项式的性质，包括均差的概念。 - **示例题目15**：证明阶均差有下列性质：(i) 若\(f(x) = c\)，则\(\Delta^n f(x) = 0\)；(ii) 若\(f(x) = x^n\)，则\(\Delta^n f(x) = n!\)。 - **解析**：通过对均差的定义进行数学分析来证明这些性质。 以上是对《数值分析习题集及答案》中部分知识点的详细解析，涉及了从基本概念到高级应用的各个方面。