《数值分析》是一门研究如何用数值方法解决数学问题的学科，主要涉及数值计算的理论、算法和稳定性分析。此试卷考察的知识点广泛，涵盖了数值分析中的多项核心内容。
一、填空题
1. 双点弦截法在区间[a, b]内寻找零点时，如果f(a)f(b)<0，表明零点存在性，且当截点选取适当，解序列会收敛至方程f(x)=0的根。
2. 插值型求积公式在n个求积节点上的代数精确度至少为n-1次，而n个节点的高斯求积公式则能保证代数精度达到2n-1次。
3. 四舍五入后的a×b有5位有效数字，a+b有4位有效数字。
4. 拉格朗日插值多项式可由给定的函数值构建，题目中给出的点(-1, 0), (0, 2), (4, 10)可以用于构建该多项式。
5. 矩阵范数的概念，对于矩阵A，其1范数为所有列向量绝对值之和的最大值，所以对于给定矩阵，‖A‖1=6。
6. 为了使近似值的相对误差小于0.2%，需要至少保留3位有效数字。
7. 迭代公式\(x_{k+1} = Mx_k + N\)产生向量序列收敛的条件是矩阵|M|<1。
8. 牛顿-科特斯系数与高阶导数的关系，通过给定的n=3时的系数，可以推算出更高阶的系数。
9. 三次样条函数在每个子区间上是3次多项式，保证了光滑性。
10. 松弛法解线性方程组的迭代公式涉及松弛因子ω和矩阵操作。
11. 牛顿下山法的迭代公式为\(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)，下山条件意味着每次迭代使得函数值减小。
二、选择题
1. 有效数字的位数取决于原数的表示，这里答案是C，3，3，1，1。
2. 迭代公式的选择直接影响到收敛性，某些迭代公式可能导致发散，如选项B。
3. 线性方程组AX=B可以使用高斯消元法解的条件是矩阵A的行列式不为零，即选项C。
4. 选主元是为了减少舍入误差，选项B正确。
5. 二分法可以用于求解复根，因此A错误；迭代函数的绝对值小于1是充分条件，但不是必要条件，B错误；高斯消元法在无舍入误差下可以得到精确解，C正确；不同方法建立的插值公式可能不等价，D错误。
三、计算题
1. 通过插值法找函数零点，需根据给定数据构造插值多项式。
2. 牛顿迭代法求根，迭代公式为\(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)，用此法求解115的近似值。
3. 三点高斯求积公式用于积分计算，具体计算涉及加权和。
4. 高斯消元法解线性方程组，通过行变换逐步化简至阶梯形或对角形矩阵。
5. 高斯赛德尔方法解方程组，迭代公式涉及矩阵和向量的运算。
6. 埃尔米特插值法构建三次多项式，截断误差通过泰勒展开估计。
7. 欧拉法和改进欧拉法分别求解微分方程初值问题，计算过程中考虑步长h和迭代公式。
8. 复化梯形公式用于积分计算，根据截断误差的要求确定分段数，然后计算近似值。
以上是对《数值分析》期末试卷（A）卷部分题目的解析，涉及的主要知识点包括：数值解法（如弦截法、牛顿法、迭代法）、数值积分（高斯求积、Euler法）、矩阵运算（范数、高斯消元法、松弛法）、插值与拟合（拉格朗日插值、三次样条、埃尔米特插值）以及微分方程数值解等。这些内容构成了数值分析的基础理论和主要应用。
