线性规划模型与求解.ppt

线性规划是一种优化技术，广泛应用于运筹学和最优化领域，主要解决如何在有限的资源条件下实现目标的最大化或最小化。它涉及到数学模型的建立、求解方法的运用，如图解法和单纯形法。以下是关于线性规划及其相关知识点的详细解释。 一、线性规划的概念 线性规划是研究多变量线性函数优化问题的学科。它的基本思想是通过调整决策变量来优化目标函数，同时确保所有约束条件得到满足。目标函数可以是最大化或最小化，而约束条件通常是一组线性不等式或等式。 二、线性规划的数学模型 线性规划的数学模型由三个基本要素组成： 1. 决策变量：表示可以自由选择的未知量，例如在生产计划中的产品产量。 2. 目标函数：表示需要优化的目标，通常是线性的，可以是最大值或最小值。 3. 约束条件：限制决策变量的取值范围，确保问题的实际可行性。 线性规划模型的一般形式可以表示为： \[ \text{maximize} \quad Z = c^T x \] \[ \text{subject to} \quad Ax \leq b \] \[ x \geq 0 \] 其中，\( Z \) 是目标函数，\( c \) 是目标函数系数向量，\( x \) 是决策变量向量，\( A \) 是约束矩阵，\( b \) 是约束右端常数向量。 三、图解法 对于二维情况，可以通过绘制约束条件的可行域，然后找到目标函数最优解的位置。这通常通过画出不等式的边界线，找出它们的交集来完成。最优解位于可行域的边界，并且使目标函数达到最大值或最小值。 四、单纯形法 单纯形法是解决线性规划问题的高效算法，由丹·佐克曼(Dan Zookman)于1947年提出。该方法将问题转换为标准形式，通过一系列迭代步骤，每次选取一个基变量并替换非基变量，逐步接近最优解。单纯形法包括以下关键步骤： 1. 初始化：选择一个初始基可行解。 2. 基变量的选择：计算当前解的对偶价格（也称为影子价格），用于指导变量的选择。 3. 迭代：通过比较基变量的对偶价格和非基变量的系数，寻找可以增加目标函数值的变量，进行基变换。 4. 终止条件：当所有基变量的系数小于等于对偶价格，或者无法找到改进解的变量时，结束迭代，得到最优解。 五、单纯形法的进一步讨论——人工变量法 在处理有等式约束的问题时，可以引入人工变量利用大M法或二阶段法来解决。大M法是在等式约束两边同时添加人工变量，使得在第一阶段的单纯形过程中，人工变量被消除，从而在第二阶段找到实际的最优解。二阶段法则首先解决没有等式约束的松弛问题，然后在第二阶段考虑等式约束，找到实际可行的最优解。 六、线性规划的应用 线性规划在很多领域都有应用，如生产计划、运输问题、资源分配、投资组合优化等。例如，在上述描述的生产计划问题中，企业需要决定生产甲、乙两种产品的数量以最大化利润，同时满足设备使用时间的限制。通过构建线性规划模型，可以找到最佳的生产计划。 总结，线性规划是运筹学的核心内容，通过建立数学模型和使用有效的求解方法，可以解决实际生活中多种资源优化配置的问题。无论是图解法还是单纯形法，都能帮助我们找到问题的最优解。在解决复杂问题时，理解并熟练运用线性规划模型及求解策略至关重要。