第六节主要讲解的是平面及其方程的相关概念和计算方法，主要知识点包括：
1. **平面的点法向式方程**：
- 平面的点法向式方程是通过一个平面上的点和该平面的法向量来定义的。如果一个平面过点P(x₀, y₀, z₀)，且法向量为(n₁, n₂, n₃)，则平面的方程可以表示为n₁(x - x₀) + n₂(y - y₀) + n₃(z - z₀) = 0。
2. **平面的普通方程**：
- 平面的普通方程是通过三个坐标轴的截距来定义的，形式为ax + by + cz = d，其中a, b, c是法向量的分量，d是常数，保证了平面不过原点(0,0,0)。
3. **平面的截距式方程**：
- 当平面分别与x, y, z轴的截距为a, b, c时（a, b, c不全为0），平面的方程可以写为x/a + y/b + z/c = 1。
4. **两平面的夹角**：
- 两平面的夹角可以通过它们的法向量的夹角来确定，两个法向量的点积等于它们模长的乘积乘以夹角的余弦值。如果平面1的法向量为n₁，平面2的法向量为n₂，则两平面夹角θ的余弦值为n₁·n₂/|n₁||n₂|。
5. **点到平面的距离**：
- 点P(x₁, y₁, z₁)到平面ax + by + cz = d的距离公式为d = |ax₁ + by₁ + cz₁ - d| / sqrt(a² + b² + c²)。
举例说明：
- **例1**：求过点P且与已知平面平行的平面方程。解题的关键是找到平行平面的法向量，然后代入点法向式方程。
- **例2**：求过两点的平面方程，通常需要先找到平面的法向量，这可以通过两个点的向量积得到，然后代入点法向式方程。
- **例3**：通过平面经过的轴和点，可以确定法向量的一个分量，然后根据其他条件解出平面的普通方程。
- **例4**：垂直条件意味着法向量与已知平面的法向量垂直，所以它们的点积为0，从而建立方程。
- **例5**：平行于已知平面的平面方程可以通过调整截距来获得，同时满足与体积为1的四周体的条件。
- **例6**：通过两平面的法向量关系确定它们的夹角，以及判断平面的位置关系（平行、重合、相交等）。
- **例7**：结合平面的法向量和点的位置，以及角度条件来求解。
- **例8**：垂直条件意味着两个平面的法向量垂直，通过这个条件建立方程组求解。
- **例9**：平行平面间距离的计算通常选择一个平面上的点，计算它到另一个平面的距离。
- **例10**：要求的平面与球面相切，意味着球心到平面的距离等于球的半径，由此可以确定平面方程。
**讲堂训练**和**习题8-6**的内容可能包含对以上知识点的实践应用，比如求平面的夹角、建立平面方程、计算点到平面的距离等。
这些例子和练习题都旨在帮助学习者掌握平面方程的设立和应用，理解平面之间的相互关系，以及如何利用向量方法解决实际问题。
