第六节 广义积分审敛法是微积分学中的一个重要概念，主要研究如何判断那些无法直接求出原函数或者计算过于复杂的积分是否收敛。狭义积分的审敛法是在被积函数的原函数不易求或者计算过于复杂时，用于判断积分敛散性的方法。
一、无量限狭义积分的审敛法
这部分内容主要介绍了如何判断无量限狭义积分的收敛性。例如，通过推论1和推论2，可以得知如果积分的绝对值小于某个有限值，则积分是收敛的。例如，在例1和例2中，通过对积分的分析，利用推论1和推论2判断积分是否收敛。然而，如果积分的绝对值随着变量的增大而趋于无穷大，如例3和例4，根据推论2，我们可以得出这些积分是发散的。
二、无界函数的狭义积分审敛法
对于无界函数的狭义积分，审敛法通常更为复杂。洛必达法则在这种情况下可能会被用到，如例8所示，通过分析函数在特定点的局部行为来确定积分的敛散性。此外，比拟审敛原理也是一个关键工具，如例9所示，当一个无界函数的积分可以与已知收敛的积分进行比较时，可以判断其收敛性。
三、函数的性质及其应用
在处理无界函数的狭义积分时，理解函数的一些基本性质至关重要。例如，函数在某些点的瑕点可能会影响积分的收敛性，如例10所示。在计算某些特定类型的积分时，可以利用特定的积分公式或技巧，如例11和例12中，通过换元法或积分公式来求解。
总结：
广义积分审敛法主要包括对无量限狭义积分的审敛判断和无界函数的审敛判断。通过一系列的定理、推论和比较原则，可以有效地分析积分的敛散性，即使在无法直接求解原函数的情况下。在实际应用中，理解并熟练运用这些方法，对于解决复杂的积分问题至关重要。习题5-6旨在进一步巩固和提升学生对这些概念的理解和应用能力。
