有限元 单元类型及单元刚矩阵PPT学习教案.pptx

【有限元方法】是数值分析中的一个重要工具，广泛应用于工程力学和结构分析中。它的基本思想是将复杂的物理问题转化为简单单元的组合，通过求解每个单元的微分方程来逼近整体问题的解。本PPT教程主要探讨的是有限元方法中的【单元类型】和【单元刚度矩阵】。 在有限元方法中，结构被划分为多个【单元】，每个单元具有特定的几何形状和力学特性。单元类型的选择直接影响到分析的精度和计算的复杂性。常见的单元类型有两类：基于Langrange型和Hermite型的形状函数。 1. **Langrange型形状函数**是基于节点位移的，它只包含节点位移而不涉及节点位移导数。形状函数Ni依赖于单元的几何形状、节点分布和节点数，一旦这些确定，Langrange型形状函数也就随之确定。 2. **Hermite型形状函数**则更为复杂，除了包含节点位移外，还包含了节点位移导数。这使得Hermite型形状函数能更好地描述单元内部的曲率变化，适用于需要考虑应变梯度的情况。 为了确保位移函数的几何不变性，形状函数的多项式系数通常依据帕斯卡三角形来选取，无论是二维还是三维情况。形状函数必须满足几个关键条件：保持位移函数的连续性，反映常应变状态，以及保证在相邻单元之间位移函数的平滑过渡。 在工程实践中，常常遇到的一类结构是【一维单元】，比如【杆单元】和【梁单元】。杆单元主要用于模拟轴向力作用下的细长结构，如井架和塔架。杆单元又分为一次杆单元和二次杆单元，区别在于形状函数的阶次。一次杆单元是最简单的，它有两个节点，只考虑轴向变形，没有弯矩和扭矩。 一次杆单元的位移函数可以通过线性插值（拉氏插值）来确定，形状函数N描述了单元内点位移与节点位移的关系。通过形状函数，我们可以计算出单元内的位移、应变和应力。单元的刚度矩阵是关键，它决定了单元在外力作用下的响应。对于一次杆单元，刚度矩阵是对称的，对角线元素大于零，且矩阵是奇异的，意味着它只能处理拉伸或压缩，而不能处理扭转。 总结来说，这个PPT学习教案详细介绍了有限元方法中的单元类型和单元刚度矩阵的概念，涵盖了Langrange和Hermite型形状函数，并具体讨论了一维单元（特别是杆单元）的分析，这对于理解和应用有限元法进行结构分析至关重要。