《应用近世代数》是胡冠章先生撰写的一本深入浅出的数学教材，主要针对的是计算机科学领域，特别是密码学中的应用。近世代数作为数学的一个重要分支，它研究的是代数结构的性质和相互关系，对于理解和设计安全的加密算法具有至关重要的作用。
在密码学中，近世代数的概念广泛应用于公钥密码体制，如RSA算法，它基于大整数因子分解的困难性，而因子分解问题与群论中的模算术紧密相关。另外，椭圆曲线密码学（ECC）则涉及到域上的加法群和乘法群，这些都离不开近世代数的基础理论。
该书的第二版可能包含对第一版的更新和改进，例如加入了新的研究成果、更清晰的解释或者更多的实际应用案例。近世代数的基本概念包括群、环、域等，它们是代数结构的基石。群论研究的对象是满足封闭性、结合律和存在单位元的运算集合，如整数加法群。环则在群的基础上加入了乘法运算，而域是环的一种特殊形式，要求存在乘法逆元。
在密码学中，置换群是另一个重要的话题，它在数据加密中扮演着关键角色。置换可以看作是对一组对象进行重新排列的操作，这种操作在对称加密算法如AES中非常常见。此外，格论（Lattices）也与近世代数有密切联系，它是现代密码学中的一个重要研究方向，尤其是在抵抗量子计算攻击方面。
近世代数的理论还与编码理论相结合，如线性码和纠错码，这些在通信和数据存储中起到错误检测和纠正的作用。线性码可以被看作是向量空间的一个子集，其理论基础就是域上的线性代数，而近世代数则是线性代数的先驱。
在学习《应用近世代数》时，读者需要掌握基本的数学工具，包括整数和有理数的性质、模运算、同余关系以及群、环、域的基本性质。通过这本书，读者不仅能理解近世代数的基本理论，还能了解到这些理论如何在实际的密码系统和安全协议中得到应用。
《应用近世代数》第二版是一本对密码学爱好者和专业人士非常有价值的资源，它不仅提供了扎实的理论基础，还将理论知识与实际应用紧密结合，帮助读者在信息安全领域中更好地运用近世代数的原理。通过学习这本书，读者将能够深入理解并解决实际问题，为密码学研究和实践打下坚实的基础。
