抽象代数教材

在本教材中，抽象代数被视为研究代数结构的数学分支。它以代数结构本身及结构间的相互关系为研究对象，相比古典代数学，更加注重抽象结构的共性和一般性质。代数结构通常指的是包含非空集合及其上定义的满足特定公理的运算，这些公理包括但不限于交换律、结合律和分配律。代数结构包括群、环、域、格和布尔代数等。 在第一章代数结构概论中，首先介绍了代数运算的概念，然后深入讨论了代数结构的基本性质，包括同态和同构的概念。同态指的是保持代数结构运算的映射，而同构则是一种特殊的同态，它是双射的同态，它表明两个结构在结构上是等价的。接着，本章探讨了同余关系，它是一种等价关系，它把一个代数结构划分为互不相交的等价类。本章阐述了商代数结构和积代数结构的概念，它们是通过已有的代数结构构造新的代数结构的方法。 第二章关注半群、幺半群和群的概念。群是一种特殊的代数结构，它包括了单一的二元运算，并且必须满足封闭性、结合律、单位元的存在和逆元的存在等公理。半群是只有结合律和封闭性的代数结构，而幺半群则是在半群的基础上加入了单位元的结构。群的基本性质包括了消去律和群的分类。本章还介绍了群在集合上的作用、子群、群同态和变换群等概念。循环群、不变子群、商群和群同构定理是群论中的核心内容。群论在现代数学、物理学及计算机科学中有着广泛的应用。 第三章讨论了环和域的理论。环是一种包含两个二元运算（通常是加法和乘法）的代数结构，必须满足加法的群性质和乘法的半群性质，以及加法与乘法之间的分配律。域是一种特殊的环，它允许所有非零元素都有乘法逆元。有限域，即有限个元素的域，具有重要的应用价值，如编码理论和密码学。本章还探讨了有限域的结构和表示方法。 第四章讨论了格和布尔代数。格是一种特殊的代数结构，其基本运算有上下界概念，格运算通常满足交换律和结合律。特殊格包括分配格、有补格等。布尔代数是一种代数系统，它的运算类似于命题逻辑中的逻辑运算，布尔代数在电子计算机和数字电路的设计中有着重要的应用。此外，布尔代数中的有限布尔代数和自由布尔代数也是本章的重要内容。布尔代数在设计数字电路时可实现复杂逻辑功能的简化，从而使得电路更加高效。 整本教材不仅覆盖了抽象代数的基础概念和结构，还包括了一些具体的理论及其在计算机科学中的应用。例如，编码理论和密码学是抽象代数在计算机科学技术中的重要应用领域。随着网络通信技术的发展，计算机信息的安全与保密问题越来越受到重视，因此，抽象代数在这些方面的作用显得尤为突出。对于计算机专业的学生来说，这本教材不仅提供了一种重要的数学工具，而且培养了他们的抽象思维能力和逻辑推理能力。 教材的编写方式注重了内容的完整性和系统性，致力于使学生能够在没有教师的辅助下自学。通过大量例题和不同难度的习题，教材旨在帮助学生掌握处理抽象代数问题的方法和技巧。因此，本书既适合计算机专业的本科生作为《抽象代数》课程的教材或教学参考书，也适合其他工程技术人员自学使用。