由于提供的文件信息不包含可直接阅读的文本内容，我无法给出具体的知识点。但根据文件标题“抽象代数讲义3，域和伽罗瓦理论（中文）”，我可以为您构建关于“域”和“伽罗瓦理论”在抽象代数中的知识内容。
### 域的概念
在抽象代数中，域是一种特殊的环，它是具有加法和乘法两种运算的代数结构，满足以下性质：
1. **封闭性**：对于域中的任意两个元素，其加法和乘法的结果仍然属于该域。
2. **结合律**：加法和乘法满足结合律。
3. **交换律**：加法和乘法都满足交换律。
4. **分配律**：乘法对于加法满足分配律。
5. **存在单位元**：加法和乘法都存在单位元，通常1表示乘法单位元，0表示加法单位元。
6. **存在逆元**：除了加法单位元0以外，域中的每个元素都存在加法逆元（负元）和乘法逆元（倒数）。
7. **无零因子**：域中的非零元素乘以任何其他元素不可能为零。
最典型的域是实数域和复数域，它们都满足以上所有性质。但域的概念更为一般，例如有理数集合、模n剩余类环（当n为素数时）也都构成域。
### 伽罗瓦理论
伽罗瓦理论是抽象代数的一个分支，由法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦提出。它主要研究多项式方程的可解性问题，尤其是关注哪些方程可以通过根式解（即只使用有限次加、减、乘、除和乘方运算）求解。伽罗瓦理论的一个核心概念是伽罗瓦群，它描述了域的自同构群，即域中元素的置换，这些置换保持域的加法和乘法结构不变。
在伽罗瓦理论中，一个关键的结论是伽罗瓦对应，它建立起了域的扩展和其伽罗瓦群的子群之间的对应关系。具体来说，对于给定的域K及其扩展域L，可以找到一个L中的元素形成的集合G，使得L可以看作是K上添加G中所有元素的最小域，而G恰好是L的伽罗瓦群的一个子群。
伽罗瓦理论通过这种对应关系揭示了多项式方程的根与域的自同构群之间的深刻联系。例如，一个多项式是否可以通过根式解，取决于其伽罗瓦群的结构。如果伽罗瓦群是可解群（即可以嵌套构建出一个正规序列，每一个因子都是阿贝尔群），那么对应的多项式方程就可以通过根式解求解。
### 域的扩展
在域的理论中，域的扩展是指在已有的域中加入新的元素而得到的新域。可以有多种不同的扩展方式，而根据不同的扩展方式，域之间可以有不同的关系。
1. **代数扩展**：如果扩展域中的某个元素是原域上的一个多项式的根，那么这个元素被称为代数元素，扩展称为代数扩展。
2. **超越扩展**：如果扩展域中的某个元素不是原域上的任何多项式的根，则该元素被称为超越元素，扩展称为超越扩展。
### 伽罗瓦扩展
特别地，当域的代数扩展满足其伽罗瓦群是一个有限群时，这样的扩展被称为伽罗瓦扩展。伽罗瓦理论中的一个关键定理是：一个多项式方程的伽罗瓦群是可解的，当且仅当这个方程的根可以通过根式解出。
伽罗瓦理论是抽象代数乃至整个数学中极具影响力的理论之一，它不仅解答了数学上长期未解的问题，比如五次以上多项式方程为何不能通过根式求解，还深刻地影响了现代数学的许多分支，如代数几何、数论等。
以上内容就是关于域和伽罗瓦理论的抽象代数知识的概述。如果需要更详细的数学论证和定理证明，通常需要结合具体的数学教材和文献，以及参与数学课程的学习和实践。
