### 知识点总结
#### 一、书籍概述与作者介绍
- **书名**：《Advanced Modern Algebra》（高级现代代数）
- **作者**：Joseph J. Rotman
- **出版信息**：Prentice Hall出版社，第一版于2002年发布，第二版于2003年印刷
- **语言**：英语
- **ISBN**：0130878685
- **特点**：本书强调群与环之间的互动关系，“环”的概念还包含了模的概念。不仅提供定义和清晰的定理陈述，还包括证明的简略概要，以及对代数几何、计算机科学、同调和表示理论等领域的关注。
#### 二、书籍内容概述
- **组织原则**：本书的核心是围绕着群与环的相互作用来构建的，强调了“环”的概念包括了模的观念。
- **结构安排**：不仅是一系列定义、定理和证明的简单列举，更将结果和思想置于适当的历史背景和应用情境中，让学生理解学习每个主题的原因以及定义的来源。
- **章节内容**：
- 第1章：《往事》—涉及数论的基本概念、单位根以及集合论的基础知识。
- 第2章：《群I》—介绍置换群、一般群的概念、拉格朗日定理、同态、商群以及群作用。
- 第3章：《交换环I》—介绍交换环的基本性质、多项式、最大公因数、欧几里得环、线性代数基础（包括向量空间和线性变换）以及商环和有限域的概念。
- 第4章：《域》—探讨五次方程的不可解性、通过根式求解方程的可能性以及伽罗瓦理论的基本定理。
- 第5章：《群II》—进一步深入研究群的理论。
#### 三、具体章节详解
- **第1章：《往事》**
- 1.1节：《一些数论》—介绍数论中的基本概念，如整除、质数、最大公约数等。
- 1.2节：《单位根》—讨论复数域内的单位根及其性质。
- 1.3节：《一些集合论》—介绍集合的基本操作，如并集、交集、笛卡尔积等。
- **第2章：《群I》**
- 2.1节：《介绍》—概述群的基本定义及其在数学中的重要性。
- 2.2节：《置换》—详细解释置换群的概念，并举例说明。
- 2.3节：《群》—定义群的概念，给出群的性质和分类。
- 2.4节：《拉格朗日定理》—解释拉格朗日定理的含义及其在群论中的应用。
- 2.5节：《同态》—探讨群之间的同态映射及其性质。
- 2.6节：《商群》—介绍商群的概念及构造方法。
- 2.7节：《群作用》—研究群作用于集合上的概念及其重要性质。
- **第3章：《交换环I》**
- 3.1节：《介绍》—概述交换环的基本概念。
- 3.2节：《初等性质》—研究交换环的一些基本性质，如零因子、单位元等。
- 3.3节：《多项式》—探讨多项式的定义、运算规则及性质。
- 3.4节：《最大公因数》—介绍最大公因数的概念及其在交换环中的应用。
- 3.5节：《同态》—讨论交换环间的同态映射及其性质。
- 3.6节：《欧几里得环》—介绍欧几里得环的概念及性质。
- 3.7节：《线性代数》—包含向量空间和线性变换的基础概念及性质。
- 3.8节：《商环和有限域》—介绍商环的概念及有限域的应用。
- **第4章：《域》**
- 4.1节：《五次方程的不可解性》—讨论五次方程无法通过根式求解的原因。
- 4.2节：《伽罗瓦理论的基本定理》—介绍伽罗瓦理论的核心内容，包括伽罗瓦群和域扩张的性质。
- **第5章：《群II》**
- 进一步深入探讨群的高级话题，如自由群、直积群、张量积等概念及其应用。
#### 四、适用对象
- 本书适合希望自学高级代数及其相关主题的个人，特别适合数学专业学生或从事相关领域研究的人士作为参考书使用。
《Advanced Modern Algebra》是一本涵盖了广泛抽象代数领域的教科书，不仅提供了丰富的理论知识，还注重理论与实际应用的结合，对于学习者来说是非常有价值的资源。
