LECTURE NOTES ON ABSTRACT ALGEBRA
CHANGJIAN FU
Lecture 2: Definition of Group and Examples
简单的说，群即是被赋予一种运算得某个非空集合。
♦ 运算（代数运算）：设M为非空集合，称映射M × M
f
−→ M为M上的一个（二
元）运算。我们一般将运算简记为”∗, ·, ×”等等。
H Examples: N × N → N,
1) (a, b) 7→ a + b 即为通常意义的加法;
2) (a, b) 7→ a × b 即为通常意义的乘法;
3) (a, b) 7→ 1，对任意的a, b ∈ N;
4) (a, b) 7→ a − b;
由定义可知1)2)3)为N上的运算，但是4)不是N上的运算，因为此映射不是N ×
N → N的映射。
N Exercise: 设|M| = n, 记集合O(M)为M 上运算的全体，试求|O(M)| =?
F Remark:不同的运算赋予同一集合不同的结构，通常我们只对一些“好的”运
算感兴趣。
♦ 封闭性：设非空集合M上有一运算∗, H为M的非空子集。若
H ∗ H =: {x ∗ y|x, y ∈ H} ⊂ H,
则称H关于运算∗封闭。
♦ 群(group)：设G为非空集合，∗为G上的运算，称(G, ∗)为群，如果运算∗满足：
G1) 封闭性：∀a, b ∈ G, ⇒ a ∗ b ∈ G;
G2) 结合律：∀a, b, c ∈ G, ⇒ (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c);
G3) 单位元：∃e ∈ G, s.t. ∀a ∈ G, e ∗ a = a ∗ e = a;
G4) 逆元：∀a ∈ G, ∃b ∈ G, s.t. a ∗ b = b ∗ a = e.
F Remark: 1) 在上述定义中G1)实际上是多余的，因为运算∗ 已经保证了封闭
性。注意我们是称(G, ∗)特别的集合G带上运算∗为群，而不只是称集合G本身
为群，并且在以后我们会知道同一个集合上有不同的运算使得其为群，因而
突出运算是必要的。但以后在不引起混淆的情况下我们也一般把运算省略不
写。
2)若运算∗只满足G1)G2)则我们称(G, ∗)为半群(semigroup).
3) 若群(G, ∗)还满足
G5) ∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a;
则称(G, ∗)为交换群(Abel群)。
I Propositions:
1) 群G中存在唯一的元素e, s.t. ∀a ∈ G, e ∗ a = a ∗ e = a;
2)对任意给定的a ∈ G, 存在唯一的元素b ∈ G，s.t. a ∗ b = b ∗ a = e.
· 我们称上述命题中的元素e为群(G, ∗)的单位元（恒等元）；称元素b
为a的逆元，记b = a
−1
。易知a也为b的逆元，(a
−1
)
−1
= a。
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