代数学引论（聂灵沼 丁石孙）课件

### 代数学引论——近世代数与抽象代数概览 #### 一、课程背景与目的 在数学领域中，代数学是一个重要的分支，它不仅涵盖了基础的初等代数，还包括更高深的近世代数（也称为抽象代数）。近世代数是现代数学的一个核心部分，它主要研究代数结构，如群、环、域等。《代数学引论》这门课程旨在向学生介绍近世代数的基本概念和理论，通过深入浅出的方式帮助学生理解抽象代数的核心思想。 #### 二、课程主要内容概述 1. **群的概念及其基本性质** - 定义：群是由非空集合 \( G \) 和该集合上的一个运算（通常用符号 “\(*\)” 表示）组成的代数系统，满足封闭性、结合律、存在单位元和每个元素都有逆元四个条件。 - 封闭性：对于群 \( G \) 中的任意两个元素 \( a, b \)，\( a*b \) 也必须属于 \( G \)。 - 结合律：对于群 \( G \) 中的任何三个元素 \( a, b, c \)，\( (a*b)*c = a*(b*c) \)。 - 单位元：存在一个元素 \( e \) 使得对于群 \( G \) 中的任何元素 \( a \)，有 \( e*a = a*e = a \)。 - 逆元：对于群 \( G \) 中的每一个元素 \( a \)，存在一个元素 \( b \) 使得 \( a*b = b*a = e \)。 2. **典型例子** - 整数集合 \( \mathbb{Z} \) 在加法运算下的群，单位元为 0，每个整数 \( a \) 的逆元为 \( -a \)。 - 有理数集合 \( \mathbb{Q} \) 在加法运算下的群，单位元为 0；在乘法运算下的群（除了 0），单位元为 1。 - 数域 \( F \) 上次数小于等于 3 的多项式全体连同零多项式在多项式加法下的群，单位元为零多项式。 - \( GL_n(F) \) 是 \( F \) 上所有 \( n \times n \) 非奇异矩阵的集合，在矩阵乘法下的群，单位元为单位矩阵 \( E_n \)。 - \( SL_n(\mathbb{Z}) \) 是 \( \mathbb{Z} \) 上所有行列式为 1 的 \( n \times n \) 矩阵的集合，在矩阵乘法下的群。 3. **更深层次的概念** - 交换群：如果群 \( G \) 满足交换律 \( a*b = b*a \)，则称 \( G \) 为交换群或阿贝尔群。 - 半群：如果一个代数系统满足封闭性和结合律，但不一定有单位元或逆元，则称其为半群。 - 群的性质：群中存在唯一的单位元，每个元素有唯一的逆元，且存在消去律。 4. **重要命题及证明** - 命题1：群 \( G \) 中存在唯一的单位元 \( e \)，使得对于所有 \( a \in G \)，有 \( e*a = a*e = a \)。 - 命题2：对于任意给定的 \( a \in G \)，存在唯一的元素 \( b \in G \)，使得 \( a*b = b*a = e \)。 - 证明：通过数学归纳法可以证明，任意有限个元素的乘积与左运算的顺序无关。这个证明对于理解和应用群的性质非常重要。 #### 三、学习方法与技巧 - **理解基本定义**：首先需要牢固掌握群、半群、交换群等基本概念。 - **做习题**：通过练习各种类型的题目来加深对概念的理解，尤其是那些与具体例子相关的题目。 - **参与讨论**：与其他同学交流学习心得，共同探讨难点问题。 - **复习与总结**：定期复习所学内容，并尝试自己总结关键知识点。 通过以上内容的学习，学生能够建立起对抽象代数的基本框架的认识，并为进一步学习高等代数和其他相关数学领域的知识打下坚实的基础。