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最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现 (2).docx
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最小二乘法的基本原理和多项式拟合
一、最小二乘法的基本原理
(
x
,
y
)
p
(
x
)
从整体上考虑近似函数
同所给数据点
(i=0,1,…,m)
误差
i
i
r
p
(
x
)
y
(i=0,1,…,m)
i
i
i
i
ma
x
r
r
p
(
x
)
y
(i=0,1,…,m)
绝对值的最大值
,即误差
向量
i
0
i
m
i
i
m
r
r
(
r
,
r
,
r
)
T
的∞
—
范数;二是误差绝对值的和
i
0
i
,即误差向量
r
的
1
—
0
1
m
m
r
2
i
范数;三是误差平方和
的算术平方根,即误差向量
r
的
2
—
范数;前两种
i
0
方
法
简
单
、
自
然
,
但
不
便
于
微
分运
算
,后一
种方法
相当于
考虑
2
—
范数的平方,
m
r
2
i
r
i
因此在曲线拟合中常采用误差平方和
体大小。
来
度量误差
(i=0
,
1
,
…
,
m)
的整
i
0
(
x
,
y
)
数据
拟合
的具体作法是:对给定数据
(i=0,1,…
,
m)
,在取定的函
i
i
p
(
x
)
r
p
i
(
x
)
y
数类
中
,
求
,
使误差
(i=0,1,…,m)
的平方和最小,即
i
i
y
2
m
m
r
2
i
p
x
(
)
min
i
i
i
0
i
0
(
x
,
y
)
从
几
何
意
义
上
讲
,
就
是
寻
求
与
给
定
点
(i=0,1,…,m)
的距离平方和为最
i
i
小的曲线
y
p
(
x
)
(图
6-1
)。函数
函数
p
(x)
的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
p
(
x
)
称为拟合函数或最小二乘解,
求
拟合
合中,函数类
可有不同的选取方法
.
6
—
1
二
多项式拟合
假设给定数据点
(
x
,
y
)
n
(
n
m
)
(i=0,1,…,m)
,
为所有次数不超过
的多项式构
i
i
n
p
(
x
)
a
x
k
成的函数类,现求一
n
k
,
使得
k
0
2
m
m
n
I
p
(
x
)
y
a
x
k
y
min
2
k
n
i
i
i
i
(1)
i
0
i
0
k
0
p
(
x
)
n
当拟合函数为多项式时,称为多项式拟合,满足式(
1
)的
称为最小二乘
拟合多项式。特别地,当
n=1
时,称为线性拟合或直线拟合。
显然
m
n
I
(
a
x
y
)
2
k
k
i
i
i
0
k
0
a
,
a
,
�
a
I
I
(
a
,
a
,
�
a
)
的极值
问题。
为
的多元函数,因此上述问题即为求
0
1
n
0
1
n
由多元函数求极值的必要条件,得
I
m
n
2
(
a
x
y
)
x
i
0
,
j
0
,
1
,
,
n
�
k
j
a
k
i
i
(2)
(3)
i
0
k
0
j
即
n
m
m
(
x
)
a
x
y
,
j
0
,
1
,
,
n
�
j
k
j
i
k
i
i
k
0
i
0
i
0
a
,
a
,
�
a
(
3
)是关于
的线性方程组,用矩阵表示为
n
0
1
m
m
m
1
x
�
x
m
n
y
i
i
a
0
i
i
0
i
0
0
a
i
�
�
x
2
n
1
x
y
i
m
m
m
m
x
x
1
i
i
i
i
�
i
0
i
0
i
0
i
0
�
�
�
�
a
m
m
m
m
x
y
n
i
x
x
n
1
x
2
n
n
n
i
i
i
i
i
0
(4)
i
0
i
0
i
0
式(
3
)或式(
4
)称为正规方程组或法方程组。
可以证明,方程组(
4
)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。
a
从式(
4
)中解出
(k=0,1,…
,
n)
,从而可得多项式
k
n
p
(
x
)
a
x
k
n
k
(5)
p
(
x
)
k
0
p
(
x
)
n
可以证明,式(
5
)中的
满足式(
1
),即
为所求的拟合多项式。我
n
m
p
(
x
)
y
2
p
(
x
)
n
们把
n
i
i
称为最小二乘拟合多项式
的平方误差,记作
i
0
m
r
2
p
(
x
)
y
2
2
n
i
i
i
0
由式
(2)
可得
m
n
m
r
2
y
2
a
(
x
y
)
k
2
i
k
i
i
(6)
i
0
k
0
i
0
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步:
(1)
由已知
数据画
出函数粗
略的图
形
——
散点图,确定拟合多项式的次数
n
;
m
m
x
(
j
0
,
1
,
�
,
2
n
)
x
y
j
i
(
j
0
,
1
,
�
,
2
n
)
j
(2)
列表计算
i
和
i
;
i
0
i
0
a
,
a
,
�
a
(3)
写出正规方程组,求出
;
n
0
1
n
p
(
x
)
a
x
k
(4)
写出拟合多项式
n
k
。
k
0
m
或
n
m
;当
n
m
时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛
在实际应用中,
n
顿插值多项式。
T
例
1
测得铜导线在温度
(℃)时的电阻
R
(
)
如表
6-1
,
求
电
阻
R
与温度
T
i
i
的近似函数关系。
3
36.0
80.80
50.0
T
i
76.30
77.80
79.25
82.35
83.90
85.10
R
(
)
i
解
画出散点图(图
6-2
),可见测得的数据接近一条直线,故取
n=1
,拟合函
数为
R
a
a
T
0
1
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