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二 多项式拟合
假设给定数据点
(x
i
, y
i
)
(i=0,1,…,m),
为所有次数不超过
n(n m)
的多项式构
p
n
(x)
a
k
x
k
k 0
n
成的函数类,现求一
m
,使得
2
I
p
n
(x
i
) y
i
i0
2
n
a
k
x
i
k
y
i
min
i0
k 0
(1)
m
当拟合函数为多项式时,称为多项式拟合,满足式(1)的
p
n
(x)
称为最小二乘
拟合多项式。特别地,当 n=1 时,称为线性拟合或直线拟合。
显然
I
(
a
k
x
i
k
y
i
)
2
i0 k 0
m n
为
a
0
, a
1
,a
n
的多元函数,因此上述问题即为求
I I (a
0
, a
1
,a
n
)
的极值 问题。
由多元函数求极值的必要条件,得
m n
I
2
(
a
k
x
i
k
y
i
)x
i
j
0,
a
j
i0 k 0
j
0,1,
, n
(2)
即
(
x
k 0 i0
n m
jk
i
)a
k
x
i
j
y
i
,
i0
m
j
0,1,
, n
(3)
(3)是关于
a
0
, a
1
,a
n
的线性方程组,用矩阵表示为
m 1
m
x
i
i0
m
x
i
n
i0
x
x
i0
i0
m
m
i
2
i
x
i0
m
n1
i
m
x
y
i
a
i0
i0
0
m
m
x
i
n1
a
1
x
i
y
i
i0
i0
a
m
m
n
2n
n
x
i
y
i
x
i
i0
(4)
i0
n
i
m
式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。
可以证明,方程组(4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。
从式(4)中解出
a
k
(k=0,1,…,n),从而可得多项式
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