最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现.pdf
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2022-11-03
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最小二乘法的基本原理和多项式拟合
一、最小二乘法的基本原理
从整体上考虑近似函数
p(x)
同所给数据点
(x
i
, y
i
)
(i=0,1,…,m)误差
r
i
p(x
i
) y
i
(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差
r
i
r
i
p(x
i
) y
i
(i=0,1,…,m)绝对值的最大值
max
0im
，即误差 向量
r
(r
0
, r
1
, r
m
)
T
的∞—范数；二是误差绝对值的和
i0
m
r
i
，即误差向量 r 的 1—
范数；三是误差平方和
i0
r
m
2
i
的算术平方根，即误差向量 r 的 2—范数；前两种
方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，
因此在曲线拟合中常采用误差平方和
i0
体大小。
r
m
2
i
来 度量误差
r
i
(i=0，1，…，m)的整
数据拟合的具体作法是：对给定数据
(x
i
, y
i
)
(i=0,1,…，m)，在取定的函
数类
中,求
p(x)
,使误差
r
i
p(x
i
) y
i
(i=0,1,…,m)的平方和最小，即
i0
r
m
2
i
i0
p(x ) y
i i
m
2
min
从几何意义上讲，就是寻求与给定点
(x
i
, y
i
)
(i=0,1,…,m)的距离平方和为最
小的曲线
y p(x)
（图 6-1）。函数
p(x)
称为拟合函数或最小二乘解，求拟合
函数 p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类
可有不同的选取方法.
6—1
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