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数学建模实验报告模板.docx
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数学建模实验报告
一、摘要(写出本次作业建模的大致思路、方法及主要结果)
根据微积分中熟知的有限覆盖定理,必然存在最小的覆盖,这样就为节约用水而建立优
化模型提供了理论依据。然而我们更需要的是对实际问题有具体指导的结论。
我们假设每个喷水龙头的喷水面积都是固定不变的,要使用水最少,只需浇灌的重复面积
最小。因此我们需要建立这样一个模型,既要使绿地全部被均匀地浇到,又要达到节约水资源
的目的;而只有在被重复浇到的绿地面积达到最小时,才能使喷浇节约用水。我们假设在绿地
区内可以放置 n 个龙头,每个龙头最大的喷射半径为 R。记绿
地区域的面积为,第 i 个龙头的喷射半径为 r
i
,喷射角度为
i
,它所
形成的区域为 S
t
,则绿地受水的总面积 (实际上的圆覆盖)为 S= S
t
,
从而得到如下优化模型问题:
目标函数:
S
n
S=Min{ S}
S
t=
1
tt
约束条件:
n
R;
S
t
S;r
t
t1
为了解决和简化问题,更能表达 “覆盖”的含义,我们以
K=
S
S
S
代替文献[1,2]中的
S
来作为有效覆盖率来刻画和评价模型的优劣,
就有:1≥K。K 越接近 1,模型就越好,因此用水也就越节约。
我们针对 4 种不同的几何形状绿地区域的覆盖进行讨论, 从而得到了
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t
=
1
n
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