2020届新课标数学考点预测--空间向量与立体几何.doc
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2021-10-12
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2020 届新课标数学考点预测--空间向量与立体几何
一、考点介绍
1．利用向量处理平行问题
空间图形的平行关系包括直线与直线的平行，直线与平面的平行，平面与平面的平行
它们都可以用向量方法来研究。方法如下：
（1）设
ba,
是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为
ba
,
，那么
baba
////
。根
据实数与向量积的定义：
)0,(// kRkbkaba
。
（2）平面与平面平行可以转化两个平面的法向量平行：设两个不重合的平面
,
的法向
量分别为
ba
,
，那么
ba
////
。
（3）直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面与平面的法向量垂直：设直线
l
在
平 面
外 ，
a
是
l
的 一 个 方 向 向 量 ，
b
是 平 面
的 一 个 法 向 量 ， 那 么
0// babal
。
（4）
//a
平面
表示以
a
为方向向量的直线与向量
平行或在平面
内，因此也可以
由共面向量定理证明线面平行问题。
2．利用向量处理垂直问题
空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间内的两个向量垂直问题来解决。
（1）设
ba
,
分别为直线
ba,
的一个方向向量，那么
0 bababa
；
（2）设
ba
,
分别为平面
,
的一个法向量，那么
0 baba
；
（3）设直线
l
的方向向量为
a
，平面
的法向量为
b
，那么
bal
//
。
3．利用向量处理角度问题
在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关
于角的计算，均可归结为两个向量的夹角。对于空间向量
ba
,
，有
||||
,cos
ba
ba
ba
，
利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题。
求异面直线所成的角的关键在于求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量
积，可以求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示，两向量的夹角范围是
],0[
，而两异面直线所成角的范围是
]
2
,0(
，应注意加以区分。
直线
l
与平面
的夹角
，是直线
l
的方向向量
l
与平面
的法向量
n
的夹角
（锐
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