2020高中数学 第五章 平面向量的数量积的运算律教学案 苏教版.doc
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2021-10-12
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第十二教时
教材：平面向量的数量积的运算律
目的：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。
过程：
一、 复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质
2．判断下列各题正确与否：
1若 a = 0，则对任一向量 b，有 ab = 0。 ( √ )
2若 a 0，则对任一非零向量 b，有 ab 0。 ( × )
3若 a 0，ab = 0，则 b = 0。 ( × )
4若 ab = 0，则 a 、b 至少有一个为零。 ( × )
5若 a 0，ab = ac，则 b = c。 ( × )
6若 ab = ac，则 b = c 当且仅当 a 0 时成立。 ( × )
7对任意向量 a、b、c，有(ab)c a(bc)。 ( × )
8对任意向量 a，有 a
2
= |a|
2
。 ( √ )
二、 平面向量的运算律
1
．
交换律：a b = b a
证：设 a，b 夹角为，则 a b = |a||b|cos，b a = |b||a|cos
∴a b = b a
2
．
( a)b = (ab) = a( b)
证：若 > 0，( a)b = |a||b|cos，
(ab) = |a||b|cos，
a( b) = |a||b|cos，
若 < 0，( a)b =| a||b|cos() = |a||b|(cos) = |a||b|cos，
(ab) = |a||b|cos，
a( b) =|a|| b|cos() = |a||b|(cos) = |a||b|cos。
3
．
(a + b)c = ac + bc
在平面内取一点 O，作 = a, = b， = c，
∵a + b （即 ）在 c 方向上的投影
等于 a、b 在 c 方向上的投影和，
即：|a + b| cos = |a| cos
1
+ |b| cos
2
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos
1
+ |c| |b| cos
2
∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc
4
．
例题：P118—119 例二、例三、例四 （从略）
三、 应用例题：（《教学与测试》第 27 课 P156 例二、例三）
例一、 已知 a、b 都是非零向量，且 a + 3b 与 7a 5b 垂直，
a 4b 与 7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。
1
2
a
b
A
B
O
A
1
B
1
C
c
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