向量数量积是高中数学中一个重要的概念，特别是在平面向量的学习中，它与物理学中的力、功等概念紧密相连。向量数量积，又称点积或标量积，是两个向量的一种运算，结果是一个标量（即实数）。在物理背景中，向量数量积可以用来计算力对物体所做的功，或者理解为两个向量在同一直线上的投影乘积。
向量数量积的定义是：对于两个向量a和b，它们的数量积a·b等于|a|（a的模长）乘以|b|再乘以两向量之间的夹角的余弦值，即a·b = |a| * |b| * cosθ。如果a和b垂直，那么它们的夹角θ为90度，此时cosθ=0，因此a·b=0，这一点在题目中的命题①和②中有所体现。
向量数量积还遵循一些运算律，例如交换律（a·b=b·a）、分配律（a·(b+c)=a·b+a·c）和结合律（(a·b)·c=a·(b·c)），但需要注意的是，向量数量积并不满足消去律，即a·b=0并不意味着a=0或b=0，除非额外条件限制（如命题③和④所示）。
在实际问题中，向量数量积的运算可以帮助我们解决复杂的问题，比如在几何问题中确定角度、长度或者寻找向量的关系。在题目中的例题中，我们可以看到如何通过向量数量积来解决问题，例如计算向量的模长、判断向量的垂直关系以及求解向量的夹角。
在第2题中，利用向量数量积的性质a·(2a-b)=2|a|^2-a·b，可以直接求解出答案。在第3题中，通过展开(3a+2b)·(ka-b)=0，可以找到k的值，这体现了向量数量积的线性特性。第4题中，利用向量的中点性质以及向量数量积的定义，可以求得AP·(PB+PC)的值。
此外，题目还提到了非零向量a和b垂直的条件，即a·b=0，以及向量的模长关系。例如第5题中，通过a+2b与a-2b垂直推导出|a|=2|b|，而第6题中涉及了两个单位向量e1和e2的夹角为60度，利用这个信息可以计算出(e1-e2)·(2e1-e2)的值。
题目的第7题和第8题进一步考察了向量数量积的应用，包括求模长和夹角，这些都是基于向量数量积的定义和性质进行的计算。
总结来说，向量数量积是向量理论中的核心概念，它不仅与几何和物理紧密关联，而且在解决数学问题时起着至关重要的作用。理解和熟练掌握向量数量积的定义、运算律及其应用，是高中数学学习中不可或缺的部分。
