2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理练习新人教A版必修4

【知识点详解】 1. 平面向量的基本定理：向量是二维空间中的有向线段，可以用来表示力、速度等物理量。平面向量基本定理指出，在一个平面内，任何一组不共线的两个向量都可以作为该平面内所有向量的基础，意味着任何向量都可以表示为这两个向量的线性组合。例如，题目中提到的向量组①③（AD与AB，CA与DC）就是这样的基础。 2. 向量的线性组合与基底：向量a可以用基底向量的线性组合表示，即a = x*基向量1 + y*基向量2，其中x和y是标量。例如，题目中的第2题，向量a - b可以用e1和e2的线性组合表示为e1 - 3e2。 3. 平行四边形法则：在向量运算中，平行四边形法则可以用来求两个向量的和。如果将两个向量的起点放在同一点，那么这两个向量的终点之间的连线就是它们和的向量。例如，题目中第4题，矩形ABCD中，OC可以表示为BC与DC的和，即OC = BC + DC。 4. 矩形和向量的关系：矩形的对角线互相平分，因此在矩形中，通过一个顶点的向量等于相邻两边向量的和。例如，第4题中，BC=6e1，DC=4e2，所以OC可以表示为(BC+DC)/2，即OC = (6e1 + 4e2)/2。 5. 向量共线与三角形性质：如果两个向量的差等于零或者一个常数倍，那么它们是共线的。在三角形中，如果一个点P满足PA+PB+PC=0，那么点P是三角形的质心，即重心。如第10题，当m使得AB+AC=mAM成立时，m=2，因为AB+AC=2AM。 6. 三角形面积的分割：如果一个三角形被分成几部分，那么每部分的面积之和等于原三角形的面积。例如，第15题中，根据AD:DB=BE:EC=2:1，可以推算出△APC的面积是△ABC面积的1/3。 7. 向量比例关系：如果点M、N在线段AB、AC上，且AM:mAM=AN:nAN，那么m+n=1，表示M和N分别是AB、AC的分点，且AM:AB=AN:AC。例如，第11题中，AB=mAM，AC=nAN，所以m+n=1。 8. 向量的线性运算：向量加法遵循平行四边形法则，减法则是加法的逆运算。向量乘以标量相当于改变向量的长度而不改变方向。例如，第5题中，PA+PB+PC=AB，说明P点在线段AC上，且是AC的一个三等分点。 9. 平行四边形法则的应用：在第12题和第13题中，利用平行四边形法则，可以将AD或AB、AD表示为其他边的线性组合。 10. 动点问题：第14题中，动点P满足OP的表达式，表明点P的轨迹与三角形ABC的重心有关。 11. 面积计算：在第15题中，通过比例关系，可以找出△APC面积与△ABC面积之间的联系，从而求出△APC的面积。 以上内容详细介绍了平面向量基本定理及其在解决具体问题中的应用，包括向量的线性组合、向量共线、三角形面积的计算、向量比例关系等知识点。