数学建模解多元线性回归问题.docx

多元线性回归是一种统计分析方法，用于研究多个自变量与一个因变量之间的关系。在本案例中，公司年销售额作为因变量（y），与多个自变量（如个人可支配收入、价格、投资、广告费等）相关，形成一个多元线性回归模型。这种模型能够帮助我们量化各因素对销售额的影响程度，并分析这些因素之间的相互作用。 模型建立的第一步是对数据进行预处理，包括检查和处理异常值。这里使用MATLAB进行数据分析，通过分析残差向量，识别并剔除可能存在的异常点，确保模型的稳健性。 接着，采用最小二乘法估计回归方程的参数。最小二乘法的目标是最小化预测值与实际值之间的误差平方和，从而得到最优的参数估计。模型可以表示为： \[ y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ... + \beta_nx_n + \epsilon \] 其中，\(\beta_0\) 是截距项，\(\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n\) 是对应自变量的系数，\(x_1, x_2, ..., x_n\) 是自变量，\(\epsilon\) 表示随机误差项。通过正规方程组求解，我们可以得到这些系数的估计值。 为了分析各因素对年销售额的影响程度，引入了偏回归平方和（Q）。偏回归平方和Q衡量了每个自变量在回归模型中单独解释因变量变异性的一部分，通过计算每个变量的Q值，可以对因素影响程度进行排序。 在模型检验阶段，首先进行的是整体显著性检验，通常使用F检验。F统计量比较回归平方和（S）与剩余平方和（S）的比例，如果F统计量的p值小于显著性水平，表明回归方程的整体显著性。 接下来，对单个自变量的显著性进行检验，通常使用T检验。T检验用来判断回归系数\(\beta_i\)是否显著不同于0，即检验假设\(\beta_i = 0\)。如果某个变量的T检验p值小于显著性水平，说明该变量对因变量的影响是显著的。 在确定了主要影响因素后，可能会剔除不显著的变量，构建新的回归方程。这种方法称为逐步剔除法。每次剔除一个影响最不显著的变量，重新进行检验，直至所有剩余的回归系数都达到显著性标准。在这个过程中，要注意剔除一个变量可能会影响其他变量的系数估计，因此需要反复检验。 通过上述步骤，案例中得出了个人可支配收入、价格、投资和广告费是影响公司年销售额的主要因素，这些因素与年销售额具有密切关系。这个结论对于公司制定销售策略和预测未来销售额具有指导意义。 总结来说，多元线性回归是研究多个变量与目标变量之间关系的重要工具，通过预处理、模型建立、参数估计、显著性检验等步骤，能够揭示各因素对销售额的影响程度，并确定关键影响因素。这对于公司决策和市场分析具有实际价值。