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2022-05-28
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傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换(F.T.)对每个电子工程师来说应该都不陌生,但我们不应该只是记
住一个的公式,其背后的物理意义才是掌握和自如运用各种变换的核心。寒假前老
师把我们叫过去给了个入门讲座。他特地强调了下 F.T.背后物理意义,相比于以前
见到的一些版本,似乎更“自然”些。
在信号处理中,我们常常得到的是一些“乱七八糟”的“噪声”。人们当然不
能直接对这些混乱的东东进行分析,所以便想出“类比法”,将这些信号与我们生活
中一些常见的“简单信号”来进行比较。接着,我们的问题就来了……
第一,比较当然需要一定的衡量标准,我们用什么来作为两个信号“类比”的
衡量呢?我们想知道的是“复杂信号”和“简单信号”之间存在多大的“相似”,所
以首先想到的就应该是两个信号的“相关性”。计算相关性很简单,其实就是将两
个信号相乘再积分(连续信号),或者相乘再叠加求和(离散)。为什么呢?(假设两个
信号均值为 0)如果两个信号很相似,那么,根据“负负得正”等,在各个时间 t 上的
乘积应当更多的为“正值”,积分后显然也为“正”。越相似的信号,积分后的值就
越“正”——即相关性越大。(关于相关性和内积的关系,见)
第二,究竟选取什么信号来作为我们衡量的“标准”呢?呵呵,大家都知道是正
弦信号了。“为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?我们也还可以用方波
或三角波来代替呀,分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地
处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不
具有的性质:正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只
有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才
拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。”(以上引自)
第三,激动人心的时刻!对于不同的 ω,我们会得到不同频率的正弦信号,所以
对每个频率的正弦信号都要计算一下它与“复杂信号”的“相关性”,即在 ω 轴的
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