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数字信号处理中离散傅里叶变换的物理
意义
HolaMirai
0.前言.............................................................................................. 1
1.为什么要进行傅里叶变换........................................................... 1
2. 傅里叶变换的物理解释............................................................. 5
2.1 从宏观上认识傅里叶变换................................................ 6
3. 模拟信号与数字信号之间相互转换的理论基础.....................11
3.1 模拟信号到数字信号......................................................11
3.2 由数字信号重建原始信号.............................................. 13
4. 数字信号处理中的傅里叶变换................................................ 21
4.1 非周期系列的傅里叶变换(序列的傅里叶变换 DTFT)22
4.2 周期序列的傅里叶变换(序列的傅里叶级数 DFS)...22
5. 序列的周期性........................................................................... 27
6. 一个实际例子........................................................................... 29
7. 参考文献................................................................................... 31
8. 附录...........................................................................................32
附录程序一............................................................................ 32
附录程序二............................................................................ 33
附录程序三............................................................................ 34
附录程序四............................................................................ 34
数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义
1
0.前言
在信号分析、处理领域,傅里叶变换是最主要的分析工具,得益
于傅里叶变换,工程师们才能将各种复杂无序的信号分解成一定频率
的正弦信号和余弦信号的叠加,然后从已知正弦信号和余弦信号的特
性出发,分析出原来信号的某些特性。需要说明的是,傅里叶变换并
没有改变我们的研究目标,我们的研究目标一直是时域的信号 f(t),
傅里叶变换只是让我们能从另外一个角度来研究问题,因为当 f(t)
并不是常见的正弦或余弦信号时(或其他规律的信号),如果再在时
域分析,那么我们将无法分析,因为在时域里面,我们只知道正弦或
余弦信号的特性,其他形式的信号特性我们没有分析过,这就引出了
傅里叶变换,傅里叶变换恰好能够将其他形式的信号分解成由不同频
率正弦信号(也可以用余弦信号,两则本质上是一样的,下同)的叠
加。
1.为什么要进行傅里叶变换
事物的外在表现形式是多样的,从不同角度去看问题,可以发现
事物的不同特性,人认识事物的过程是通过观察事物的外在表现形式
(现象),从而了解事物的本质。马克思主义辩证法和认识论告诉我
们现象与本质是对立统一的辩证关系,对立表现在:现象是事物的外
在方面,是表面的、多变的、丰富多彩的;本质是事物的内在方面,
数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义
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是深藏的、相对稳定的、比较深刻、单纯的。因而现象是可以直接认
识的,本质则只能间接地被认识。 统一表现在:两者是相互依存的。
现象是本质的现象,本质是现象的本质。也就是说,本质只能通过现
象表现出来,现象只能是本质的显现,他们之间是表现和被表现的关
系。两者是相互蕴涵的。本质寓于现象之中,这是非常明显的,本质
只有通过现象表现出来才能被人认识。反过来,本质也包含现象,因
为现象尽管是多种多样的、纷繁复杂的,但毕竟是由本质决定的,早
已潜在地包含于本质之中。
因此,对于一个信号,时域和频域均是信号多方面的外在表象,
一方面,我们可以直接从时域去观察该信号,但可能不能获得足够多
关于本质的信息,另一方面,当我们从频域去观察该信号时,也许可
以获得足够多关于本质的信息。然而事物的本质无法被彻底认识的,
我们只有不断的接近它,就目前我们了解的信号的本质是:对于任意
的信号 f(t),都可以看做是由一系列不同频率、幅度、相位的正弦
信号叠加而成的复合信号(该本质是我自己的理解,不一定完全正
确)。
图 2- 1 可以形象的表示从不同方面观察同一事物在认识事物中
的作用,中间这幅图好比是时域信号,看起来没有规律,而其实在看
似杂乱无章的表面下,内部有着巧妙的规律。那我们是否能说该幅图
的本质就是图中的两句话呢?答案是不能,因为也许还有我们尚未发
现的规律,但是至少现在看起来不再是杂乱无章的了。
数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义
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图 2- 1 变换角度看事物
俯瞰中间这幅图,不能发现该图想表达的意思;闭上一只眼,从下往上看,发现“我愿一直
守护在你身边”的汉字;从左往右看,发现“直到我永远停止呼吸为止”汉字。
认识事物是一个过程,有许多不同的方法,比如局部到整体,特
殊到一般.....,对傅里叶变换的认识,我们可以用特殊到一般的方法,
先研究周期信号的傅里叶级数(特殊),再推理到非周期信号(一般)。
由傅里叶级数推导出傅里叶变换,然后反过来定义傅里叶级数。以下
是人们认识傅里叶变换的过程,可以看出,人们认识傅里叶变换正是
数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义
4
由特殊到一般的过程。
1757 年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,大胆地采用
了三角级数表示函数:
1
0
cos2)(
n
n
nxAAxf
( 1- 1 )
π2
0
dcos)(
π
2
1
xnxxfA
n
:其中
。
1759 年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数.
1777 年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性得到了将函
数表示成三角函数时的系数.也就是现今教科书中傅立叶级数的系数.
1753 年,丹·贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为三角级
数的形式,这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展。
1822 年,傅立叶在 «热的解析理论» 一书中对于欧拉和贝努利等
人就一些孤立的,特殊的情形采用的三角级数方法进行加工处理,发展
成一般理论。
傅立叶指出:任意定义在
)π,π(
上的函数
)(xf
,当满足狄利克
雷(Dirichlet)收敛条件时,函数
)(xf
可以展开成级数
1
0
)sincos(
2
~)(
n
nn
nxbnxa
a
xf
( 1- 2 )
其中:
...)2,1,0(dcos)(
π
1
π
π
nxnxxfa
n
;
...)2,1(dsin)(
π
1
π
π
nxnxxfb
n
。
公式( 1- 2 )的另一种表示方式为:
1
0
)sin(
2
~)(
n
nn
nxA
a
xf
( 1- 3 )
其中各系数可以按如下方式求得:
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河东三十年
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