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离散信号的傅立叶变换

一、傅立叶变换的由来

关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大

都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很

难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，

是一个叫 Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专

门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶

变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，

希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋

友也可以从网上下载下来看一下，URL 地址是：

http://www.dspguide.com/pdfbook.htm

要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，

也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的

基础公式。

二、傅立叶变换的提出

让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语

原名是 Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier 对热传递很感兴趣，于 1807 年

在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具

有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个

论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-

1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通

过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近 50 年的时间里，拉格朗日坚持认为傅

立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈

服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参

加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到

拉格朗日死后 15 年这个论文才被发表出来。

谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可

以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立

叶是对的。

为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，

分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余

弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。

一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频

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