2022年数学建模C题：古代玻璃制品的成分分析与鉴定（国二论文）
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2023-07-17
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古代玻璃制品的成分分析与鉴定
摘 要
贸易与交换作为考古学中的重要研究领域，主要研究方法是通过人工制造品的材料
追溯其产地来源。玻璃材料的生产工艺具有特殊性，同时此类材料基体中的玻璃在化学
成分上颇为均一，因而受到社会的关注。但玻璃风化前后化学成分有显著变化，对玻璃
种类的确定会产生较大影响，所以对玻璃中化学成分的分析和工艺的探讨对以后玻璃文
物的鉴别具有重要的现实意义。
对于问题一，首先对数据进行预处理，剔除无效数据和异常数据，补全缺值。然后
利用卡方检验证明表面风化与玻璃类型、纹饰和颜色存在显著相关性，其中表面风化与
其玻璃类型具有很强的相关性，我们根据此关系进行分类；再将化学成分含量与表面风
化进行灰色关联度分析，得出不同化学成分对于不同玻璃类型与风化表面的关系。我们
结合玻璃的类型，再对数据进行分析，然后分别对高钾玻璃和铅钡玻璃的所有化学成分
含量做均值，并通过折线图对其化学成分含量进行定性分析得出了化学成分含量的统计
规律；我们选区具有讨论意义的某些化学成分含量，利用风化前后的均值数据做差得到
理想差值，后将实际风化后的化学成分含量减理想差值即得风化前各化学成分含量。
对于问题二，首先从宏观角度来看，根据纹饰和颜色分别对铅钡和高钾玻璃进行分
类。然后从微观角度来看，我们先通过典型相关性分析，得到玻璃类型和各化学成分含
量间的关系，选取具有体现玻璃类型的化学成分含量分析得到玻璃类型判断因子，通
过定义范围来确定玻璃类型；接着利用主成分分析法对 14 个数据进行因子分析得到高
钾玻璃的主成分为
，铅钡玻璃的主成分
和，然后利用聚类分析得到高钾玻
璃的 3 种亚分类为
，
，
和铅钡玻璃的 6 种亚分类为
，
（，，），；再利用
ROC 曲线对上述亚分类进行合理性和敏感性分析，得到相关的 AUC 均为 1，敏感性和合
理性极高。
对于问题三，我们分析得出利用多元线性回归模型对表单 3 的玻璃类型进行分类，
然后分析
和共线性关系，发现该多元回归方程拟合度较好。接着分析得出 A1、A6、A7
为高钾类，A2、A3、A4、A5、A8 为铅钡类；再利用决策树学习问题二得到的亚分类结果，
对得到的玻璃类型再进行亚分类，得到最终的玻璃类型为 A1 高钾类，A6 和 A7 为高钾
类，A2 和 A3 为铅钡（4）类，A4 为铅钡（2）类，A5、A8 为铅钡类，再利用
对机器学习模型进行灵敏度检验，求得灵敏度为 1，则所构建模型准确。
对于问题四，我们首先运用灰色关联度分析对高钾玻璃和铅钡玻璃之间的化学成分
进行分析，得出了高钾玻璃对于
、
具有极强的关联性；铅钡玻璃对于
和
具有极强的关联性。然后将
和分别作为高钾玻璃和铅钡玻璃的母序列，分
别进行相关性分析，得出：高钾玻璃内部化学成分的关联度最高；铅钡玻璃内部化
学成分的关联度最高。最后利用卡方检验和方差检验对
和进行差异性检验，
均得出较为明显的差异性。
关键词：卡方检验；灰色关联度；聚类分析；多元线性回归；决策树
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