AR 模型和 ARMA 模型谱估计仿真
一、问题重述
有两个 ARMA 过程,其中信号 1 是宽带信号,信号 2 是窄带信号,分别用 AR 谱估计算
法、ARMA 谱估计算法和周期图法估计其功率谱。
产生信号 1 的系统函数为:
H
(
z
)
=
1
+
0.3544
𝑧
―
1
+
0.3508
𝑧
―
2
+
0.1736
𝑧
―
3
+
0.2401
𝑧
―
4
1
―
1.3817
𝑧
―
1
+
1.5632
𝑧
―
2
―
0.8843
𝑧
―
3
+
0.4906
𝑧
―
4
激励白噪声的方差为 1.
产生信号 2 的系统函数为:
H
(
z
)
=
1
+
1.5857
𝑧
―
1
+
0.9604
𝑧
―
2
1
―
1.6408
𝑧
―
1
+
2.2044
𝑧
―
2
―
1.4808
𝑧
―
3
+
0.8145
𝑧
―
4
激励白噪声的方差为 1.
每次实验使用的数据长度为 256.
二、模型分析
很多随机过程可以由或近似由均值为零、方差为
𝛿
2
的白噪声序列
u
(
n
)
经过具有有理想传
输函数
H(z)
的 ARMA 线性系统来得到。称该随机过程为 ARMA 过程。
H
(
z
)
=
∑
𝑞
𝑖
=
0
𝑏
𝑖
𝑧
―
𝑖
∑
𝑝
𝑖
=
0
𝑎
𝑖
𝑧
―
𝑖
=
𝐵(𝑧)
𝐴(𝑧)
𝑃
𝑥𝑥
(
𝑤
)
=
𝛿
2
∙
|
𝐻(𝑤)
|
2
由上式可知只要估计出模型的参数(
𝑎
𝑖
和
𝑏
𝑖
),即可求出功率谱。
1.AR 模型的建立:
AR 模型是一种特殊的 ARMA 模型,利用 AR(p)模型,即:
x
(
n
)
=
―
𝑝
𝑖
=
1
𝑎
𝑖
𝑥
(
𝑛
―
𝑖
)
+
𝑢(𝑛)
逼近采样样本,此时功率谱表达式为:
𝑃
𝑥
=
𝛿
2
|
1
+
∑
𝑃
𝑖
=
1
𝑎
𝑖
𝑒
―
𝑗𝑤𝑖
|
2
需要求解得未知量为参数
𝑎
𝑖
,当阶数 p 已知时,利用
x
(n)
的自相关函数与 AR 模型参数
的关系,可建立 Y-W 方程,解该方程,即可得到 AR 参数。
𝑅
𝑥
(
𝑚
)
+
𝑝
𝑖
=
1
𝑎
𝑖
𝑅
𝑥
(
𝑚
―
𝑖
)
=
0 𝑚
=
1,2……𝑝
𝑅
𝑥
(
𝑚
)
+
𝑝
𝑖
=
1
𝑎
𝑖
𝑅
𝑥
(
𝑚
―
𝑖
)
=
𝛿
2
𝑚
=
0
𝐴(𝑧)
―
1
B(z)
+
-
X(z)
U(z)