【大学数学基础】知识点详解：
1. **数列收敛性**：
在判断题中提到，数列 \( \{1 - n\} \) 无极限，因此发散。这涉及到了数列收敛的基本概念。一个数列如果存在某个常数 \( L \)，使得数列中的元素随着项数增加无限接近于 \( L \)，那么称这个数列为收敛数列，否则为发散数列。数列 \( \{1 - n\} \) 随着 \( n \) 的增大会趋向负无穷，没有稳定值，所以它是发散的。
2. **函数可导与可微的关系**：
第3题指出，如果函数在某点可导，则在该点也一定可微。这是因为在一元函数中，可导性和可微性是等价的。函数在某点可导意味着它的导数存在且连续，而可微则意味着函数在该点的微分存在，实际上，对于一元函数，这两个概念是相同的。
3. **反三角函数的性质**：
第4题涉及到反三角函数 \( arcsin(x) \) 和 \( arccos(x) \) 的性质。题目中给出的表达式 \( \pi - arcsin(\cos(x)) \) 的范围错误，因为在区间 \( [1,1] \) 内，\( \cos(x) \) 的取值范围是 \( [-1,1] \)，而 \( arcsin(x) \) 和 \( arccos(x) \) 的主值域分别是 \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) 和 \( [0, \pi] \)，因此正确的形式应该是 \( \pi - arcsin(\cos(x)) = 2\pi - x \)。
4. **周期函数**：
第5题指出，函数 \( f(x) = [x] \) 的周期为1，其中 \( [x] \) 表示不超过 \( x \) 的最大整数，这正是下取整函数的周期性。周期函数是指存在非零常数 \( T \)，对任意 \( x \) 都有 \( f(x + T) = f(x) \) 成立，这里的 \( T \) 称为周期。
5. **周期函数的和的周期**：
填空题第6题中提到，两个周期函数的和的周期是它们各自周期的最小公倍数。例如，如果 \( f(x) \) 的周期是 \( a \)，\( g(x) \) 的周期是 \( b \)，那么 \( h(x) = f(x) + g(x) \) 的周期就是 \( a \) 和 \( b \) 的最小公倍数。
6. **极坐标与直角坐标的转换**：
在第7题中，将极坐标 \( (r, \theta) \) 转换为直角坐标 \( (x, y) \)，并求点到直线的距离。这里用到的是极坐标到直角坐标的转换公式：\( x = r \cos \theta \)，\( y = r \sin \theta \)。通过这些公式，可以计算出点到直线的距离，利用点到直线距离公式 \( d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \) 来求解。
7. **无穷级数的极限**：
第8题考察了无穷级数的极限问题。这里使用了比较判别法和无穷等比数列的极限来求解。题目中给出了 \( \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} \)，可以发现这是一个几何级数，首项 \( a = \frac{1}{2} \)，公比 \( q = \frac{1}{2} \)，其和为 \( S = \frac{a}{1 - q} \)，所以极限为1。
8. **参数方程确定的函数的导数**：
第9题要求求由参数方程 \( x = t^2 \)，\( y = t^3 \) 确定的函数 \( f(x, y) \) 关于 \( t \) 的偏导数 \( \frac{\partial^2 y}{\partial x \partial t} \)。根据链式法则求出 \( \frac{\partial y}{\partial t} \) 和 \( \frac{\partial x}{\partial t} \)，然后利用多元函数的偏导数乘积法则求解。
9. **极限的洛必达法则**：
第10题中，利用洛必达法则和等价无穷小替换求解极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \sin x}{x^2} \)。先应用洛必达法则对分子分母同时求导，然后利用 \( \sin x \approx x \) 和 \( \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2!} \) 的等价无穷小替换简化计算，最终得到极限值为3。
10. **罗尔定理的应用**：
第11题涉及罗尔定理的应用。罗尔定理指出，如果函数 \( f(x) \) 在闭区间 \( [a, b] \) 上连续，在开区间 \( (a, b) \) 内可导，且满足 \( f(a) = f(b) \)，则至少存在一点 \( c \in (a, b) \) 使得 \( f'(c) = 0 \)。题目中函数 \( f(x) \) 在 \( [1, 2] \) 和 \( [2, 3] \) 上满足罗尔定理条件，因此有至少两个实根。
11. **同一函数的判断**：
选择题第12题考察了判断两个函数是否为同一函数的依据。同一函数不仅要求解析式相同，还要保证定义域相同。选项A中的两个函数尽管形式不同，但它们的定义域和解析关系都是相同的，因此是同一函数。
12. **三角函数的关系**：
第13题要求找出与 \( \sin(3\theta) \) 相同的函数。根据三角恒等变换，\( \sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \)，因此选项B中的 \( 2\cos(4\theta) \) 通过正弦的倍角公式可以转换为 \( \sin(2\cdot2\theta) \)，即 \( 2\sin2\theta \)，它与 \( \sin(3\theta) \) 并不相同。选项A中的 \( 2\cos(4\theta) \) 与 \( \sin(3\theta) \) 也没有直接关系，因此正确答案是不存在匹配的函数。
这些知识点涵盖了数列的收敛性、函数的可导性、周期函数、极坐标与直角坐标转换、无穷级数的极限、参数方程、洛必达法则、罗尔定理以及三角函数的性质等多个方面，展示了大学数学基础课程中的核心内容。
