在数学分析中，无界函数的反常积分是一种特殊的积分形式，它涉及到在无穷大或无穷小的积分区间上对不连续或无界的函数进行积分。这类积分通常不能用常规的黎曼积分定义来处理，因为它们可能在某些点处没有定义或者积分和不存在。在给定的内容中，我们主要探讨了三个例子，这些例子展示了如何判断和计算无界函数的反常积分。
例10中，计算的是广义积分 \( \int_1^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}\ln(x)} \)。通过分离变量并利用极限来处理，我们发现这个积分是发散的，因为当 \( x \) 接近无穷大时，\( \ln(x) \) 的增长速度不足以抵消 \( \sqrt{x} \) 的下降速度，导致积分和趋向于无穷大。
例11则研究了 \( \int_0^3 \frac{dx}{x - \sqrt{x}} \) 这个广义积分。这里，我们首先找到瑕点 \( x = 0 \)，然后使用瑕积分的方法，即通过对瑕点附近的积分采用极限处理，发现当 \( x \) 接近瑕点时，积分发散。但通过适当的替换和分解，我们能够证明当 \( x \) 趋向于 \( 3 \) 时，积分收敛，并且可以得到具体的结果。
例12涉及到了 \( \int_{1}^{\infty} \frac{k \ln(x)}{x^k} dx \) 的收敛性，其中 \( k \) 是一个参数。通过计算积分并分析 \( k \) 的值，我们发现当 \( k \leq 1 \) 时，积分发散；而当 \( k > 1 \) 时，积分收敛。特别地，当 \( k = \frac{1}{2} \) 时，积分取得最小值，这是由于 \( \ln(x) \) 在 \( x \) 趋于无穷大时的增长速率与 \( x^{-k} \) 的下降速率平衡。
总结一下，反常积分分为两大类：积分区间无限和被积函数无界。对于无限区间的积分，我们需要考虑积分和是否发散；而对于无界函数，我们需要观察函数在特定点的行为，如瑕点，以及其影响积分收敛性的性质。有时，通过换元法，我们可以将反常积分转化为常规的黎曼积分。在遇到同时包含两类反常积分的问题时，我们需要分别处理每个积分区间，逐个分析它们的收敛性。
作业中提到的题目可能是对以上概念的进一步应用，包括但不限于对具有不同特性的函数进行反常积分的计算，以及判断积分的收敛性。这些问题需要结合上述理论知识来解答，以检验对无界函数反常积分的理解和处理能力。
