清华大学《一元微积分》期末复习资料.pdf

【一元微积分】是数学中的基础分支，主要研究单变量函数的积分。清华大学的《一元微积分》课程涵盖了微积分的基本概念、理论及其应用。以下是对期末复习资料中涉及知识点的详细解释： 1. **函数极限**：函数在某点的极限，通过N-ε定义和δ-ε定义来描述，以及无穷远处的极限。 2. **数列极限的柯西收敛原则**：数列极限的收敛可以通过柯西准则判断，包括Axfx=∞时的柯西准则，其必要性证明也是重要部分。 3. **极限保号性**：当函数的极限存在时，函数值的符号与极限值的符号一致。 4. **无穷大量与无界变量**：无穷大量是函数或数列增长到无限大的概念，无界变量则表示函数值没有上界。 5. **积分**：积分是微积分的核心，用来计算函数曲线下面积，包括黎曼积分和反常积分的判敛问题。 6. **数项级数**：包括级数的收敛与发散，绝对收敛与条件收敛，掌握不同的判别方法，如比较判别法、比阶判别法、比值与根值判别法。 7. **正项级数的莱布尼茨判别法**：适用于交错级数的收敛性判断。 8. **函数级数**：理解一致收敛的概念，以及和函数的分析性质。 9. **幂级数**：幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域的确定，函数在一点的幂级数展开，以及幂级数求和。 10. **傅里叶级数**：周期函数可以用傅里叶级数表示，包括正弦级数和余弦级数，级数的和函数与原函数之间的关系。 期末复习题目涉及到的实际应用和证明，例如： - 证明函数的极限存在性。 - 计算极限，如求级数的极限。 - 判断级数的收敛性，使用不同判别法进行分析。 - 求幂级数的收敛区间和展开。 - 证明级数的一致收敛性并求和函数。 - 利用莱布尼茨判别法证明交错级数的收敛。 - 探讨函数级数的收敛性质和一致收敛性。 - 无穷乘积的收敛性及其与级数收敛的关系。 这些题目覆盖了微积分的主要知识点，旨在考察学生对概念的理解、计算技巧和逻辑推理能力。理解和掌握这些内容，对理解和运用微积分解决问题至关重要。