数值分析中非线性方程组牛顿解法的推导以及matlab实现
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2023-07-08
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非线性方程组的 Newton 法
（1）请详细论述非线性方程组的 Newton 法的背景和推导过程。
不妨先以非线性方程入手，假设需求非线性方程
f
(
x
)
=
0
，要求
f
(
x
)
二阶可导，
在已知近似根（初值）
x
k
处将
f
(
x
)
展开：
f
(
x
)
=
f
(
x
k
)
+
f
'
(
x
k
)
(
x−
x
k
)
+
f
''
(
δ
x
)
2
(
x−
x
k
)
2
其中
δ
x
是位于
x
与
x
k
之前的某个数，取泰勒展开的前两项，求
f
(
x
)
=
0
，并把所求
根作为
f
(
x
)
更好的近似根：
x
k
+
1
=
x
k
−
f
(
x
k
)
f'
(
x
k
)
这样就得出了牛顿法求解非线性方程的迭代格式，接下来开始论述牛顿法求解非
线性方程组的推导过程。
我的理解方程组其实就是将原方程以及迭代格式中的未知数理解为未知数向量，
但老师说理解错误，那就只能尝试证明了，其实也就是把
f'
(
x
k
)
在新的迭代格式
中新形式——雅可比矩阵给求解出来，如下为推导过程。
以二元非线性方程组为例就可以说明这个问题，假设需求非线性方程组
F
(
x
,y
)
=
0
，要求
F
(
x
,y
)
各分量二阶可导，在已知近似根（初值）
(
x
k
,
y
k
)
处将
F
(
x
,y
)
展开
(分量方程以 f(x,y)的形式表示，下标数字表示第几个分量），为得出迭代格式，
我们仅对线性部分进行展开：
f
1
(
x
k
,
y
k
)
+
∂
f
1
(
x
k
,
y
k
)
∂
x
(x−
x
k
)
+
∂
f
1
(
x
k
,
y
k
)
∂
y
(y−
y
k
)
=
0
f
2
(
x
k
,
y
k
)
+
∂
f
2
(
x
k
,
y
k
)
∂
x
(x−
x
k
)
+
∂
f
2
(
x
k
,
y
k
)
∂
y
(y−
y
k
)
=
0
将 x，y 分别作为迭代后的新结果，改记作
x
k
和
y
k
,整理得到迭代格式：
x
k
+
1
y
k
+
1
=
x
k
y
k
−
∂
f
1
(
x
k
,
y
k
)
∂
x
∂
f
1
(
x
k
,
y
k
)
∂
y
∂
f
2
(
x
k
,
y
k
)
∂
x
∂
f
2
(
x
k
,
y
k
)
∂
y
−1
f
1
(
x
k
,
y
k
)
f
2
(
x
k
,
y
k
)
（2）用 Newton 法求解非线性方程组
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