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线性方程组

非线性方程组

matlab

非线性方程

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第二章非线性方程（组）的数值解法的 MATLAB 程序

9．

高等教育出版社教育电子音像出版社作者：任玉杰

本章主要介绍方程根的有关概念，求方程根的步骤，确定根的初始近似值的方法（作图

法，逐步搜索法等），求根的方法（二分法，迭代法，牛顿法，割线法，米勒（Müller）法

和迭代法的加速等）及其 MATLAB 程序，求解非线性方程组的方法及其 MATLAB 程序.

2.1

2.1 2.1

2.1 方程

方程方程

方程（

（（

（组

组组

组）

））

）的根及其

的根及其的根及其

的根及其 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 命令

命令命令

命令

2.1.2

2.1.2 2.1.2

2.1.2 求解方程

求解方程求解方程

求解方程（

（（

（组

组组

组）

））

）的

的的

的 solve 命令

命令命令

命令

求方程f(x)=q(x)的根可以用MATLAB命令:

>> x=solve('方程f(x)=q(x)',’待求符号变量x’)

求方程组f

,…,x

)=q

,…,x

) (i=1,2,…,n)的根可以用MATLAB命令:

>>E1=sym('方程f1(x1,…,xn)=q1(x1,…,xn)');

…………………………………………………….

En=sym('方程fn(x1,…,xn)=qn(x1,…,xn)');

[x1,x2,…,xn]=solve(E1,E2,…,En, x1,…,xn)

2.1.3

2.1.3 2.1.3

2.1.3 求解

求解求解

求解多项式

多项式多项式

多项式方程

方程方程

方程（

（（

（组

组组

组）

））

）的

的的

的roots命令

命令命令

命令

如果

)(xf

为多项式，则可分别用如下命令求方程

0)(

的根，或求导数

)(

（见

表 2-1）.

表 2-1 求解多项式方程（组）的 roots 命令

命令功能

xk =roots(fa)

输入多项式

)(xf

的系数 fa（按降幂排列），运行后输

出 xk 为

0)(

的全部根.

dfa=polyder(fa)

输入多项式

)(xf

的系数 fa（按降幂排列），运行后输

出 dfa 为多项式

)(xf

的导数

)(

的系数.

dfx=poly2sym(dfa)

输入多项式

)(xf

的导数

)(

的系数 dfa（按降幂排

列），运行后输出 dfx 为多项式

)(xf

的导数

)(

2.1.4

2.1.4 2.1.4

2.1.4

求解方程

求解方程求解方程

求解方程（

（（

（组

组组

组）

））

）的

的的

的fsolve命令

命令命令

命令

如果非线性方程（组）是多项式形式，求这样方程（组）的数值解可以直接调用上面已

经介绍过的roots命令.如果非线性方程（组）是含有超越函数，则无法使用roots命令，需要

调用MATLAB系统中提供的另一个程序fsolve来求解.当然，程序fsolve也可以用于多项式方程

（组），但是它的计算量明显比roots命令的大.

fsolve命令使用最小二乘法（least squares method）解非线性方程（组）

)

的数值解，其中 X 和 F（X）可以是向量或矩阵.此种方法需要尝试着输入解 X 的初始值（向

量或矩阵）X

，即使程序中的迭代序列收敛，也不一定收敛到

)

0 的根（见例 2.1.8）.

fsolve 的调用格式

的调用格式的调用格式

的调用格式： X=fsolve(F,X0)

第二章

第二章第二章

第二章

非线性方程

非线性方程非线性方程

非线性方程（

（（

（组

组组

组）

））

）的数值解法

的数值解法的数值解法

的数值解法

第二章非线性方程（组）的数值解法的 MATLAB 程序

10．

高等教育出版社教育电子音像出版社作者：任玉杰

输入函数

)(xF

的M文件名和解X的初始值（向量或矩阵）X

，尝试着解方程（组）

)

，运行后输出

)

解的估计值（向量或矩阵）X.

要了解更多的调用格式和功能请输入:help fsolve,查看说明.

2.2

2.2 2.2

2.2

搜索根的方法及其

搜索根的方法及其搜索根的方法及其

搜索根的方法及其 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 程序

程序程序

程序

求解非线性方程根的近似值时，首先需要判断方程有没有根？如果有根，有几个根？如

果有根，需要搜索根所在的区间或确定根的初始近似值（简称初始值）.搜索根的近似位置

的常用方法有三种:作图法、逐步搜索法和二分法等，使用这些方法的前提是高等数学中的

零点定理.

2.2.1

2.2.12.2.1

2.2.1

作图法及其

作图法及其作图法及其

作图法及其 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 程序

程序程序

程序

作函数的图形的方法很多，如用计算机软件的图形功能画图，或用高等数学中应用导数

作图，或用初等数学的函数叠加法作图等.下面介绍两种作图程序.

作函数

作函数作函数

作函数

)(xfy

在区间

在区间在区间

在区间

[

[[

[a,b

a,ba,b

a,b]

] ]

] 的图形的

的图形的的图形的

的图形的 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 程序一

程序一程序一

程序一

x=a:h:b; % h是步长

y=f(x); plot(x,y)

grid, gtext('y=f(x)')

说明：⑴ 此程序在 MATLAB 的工作区输入，运行后即可出现函数

)(xfy

的图形.此图

形与

轴交点的横坐标即为所要求的根的近似值.

⑵ 区间[a,b] 的两个端点的距离 b-a 和步长 h 的绝对值越小，图形越精确.

作函数

作函数作函数

作函数

)(xfy

在区间

在区间在区间

在区间

[

[[

[a,b

a,ba,b

a,b]

]]

]上的图形的

上的图形的上的图形的

上的图形的 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 程序二

程序二程序二

程序二

将

)(xfy

化为

)()( xgxh

，其中

)()( xgxh 和

是两个相等的简单函数

x=a:h:b; y1=h(x); y2=g(x);

plot(x, y1, x, y2)

grid,gtext(' y1=h(x),y2=g(x)')

说明：此程序在 MATLAB 的工作区输入，运行后即可出现函数

)()(

xgyxhy

和

的

图形.两图形交点的横坐标即为所要求的根的近似值.

下面举例说明如何用计算机软件MATLAB的图形功能作图.

2.2.2

2.2.2 2.2.2

2.2.2

逐步搜索法

逐步搜索法逐步搜索法

逐步搜索法及其

及其及其

及其 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 程序

程序程序

程序

逐步搜索法也称试算法.它是求方程

0)(

根的近似值位置的一种常用的方法. 逐

步搜索法依赖于寻找连续函数

)(xf

满足

)(af

与

)(bf

异号的区间

],[ ba

.一旦找到区间，无

论区间多大，通过某种方法总会找到一个根.

MATLAB 的库函数中没有逐步搜索法的程序，现提供根据逐步搜索法的计算步骤和它的

收敛判定准则编写其主程序，命名为 zhubuss.m

逐步搜索法的

逐步搜索法的逐步搜索法的

逐步搜索法的 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 主程序

主程序主程序

主程序

输入区间端点 a 和 b 的值，步长

和精度

tol，运行后输出迭代次数

k=(b-a)/h+1,

方程

0)(

根的近似值 r

function [k,r]=zhubuss(a,b,h,tol)

% 输入的量--- a和b是闭区间[a,b]的左、右端点；

%---h是步长；

%---tol是预先给定的精度.

% 运行后输出的量---k是搜索点的个数；

% --- r是方程在[a,b]上的实根的近似值，其精度是tol；

X=a:h:b;Y=funs(X);n=(b-a)/h+1;m=0;

X(n+1)=X(n);Y(n+1)=Y(n);

第二章非线性方程（组）的数值解法的 MATLAB 程序

11．

高等教育出版社教育电子音像出版社作者：任玉杰

for k=2:n

X(k)=a+k*h;Y(k)=funs(X(k)); %程序中调用的funs.m为函数

sk=Y(k)*Y(k-1);

if sk<=0,

m=m+1;r(m)=X(k);

end

xielv=(Y(k+1)-Y(k))*(Y(k)-Y(k-1));

if (abs(Y(k))<tol)&( xielv<=0)

m=m+1;r(m)=X(k);

end

例

例例

例2.2.4

2.2.42.2.4

2.2.4 用逐步搜索法的MATLAB程序分别求方程

03322

=−−+ xxx

和

0)2sin(cos

=x 在区间

]2,2[

−

上的根的近似值，要求精度是0.000 1.

解

解解

解

在MATLAB工作窗口输入如下程序

[k,r]=zhubuss(-2,2,0.001,0.0001)

运行后输出的结果

k =4001

r = -1.2240 -1.0000 -1.0000 -0.9990 1.2250

即搜索点的个数为k =4 001，其中有5个是方程⑴的近似根，即r = -1.224 0，-1.000 0，-1.000

0，-0.999 0，1.225 0，其精度为0.000 1.

在程序中将y=2.*x.^3+2.*x.^2-3.*x-3用y=sin(cos(2.*x.^3)) 代替，可得到方程⑵在区间

]2,2[

−

上的根的近似值如下

r = -1.9190 -1.7640 -1.5770 -1.3300 -0.9220 0.9230 1.3310

1.5780 1.7650 1.9200

如果读者分别将方程⑴的结果与例2.2.3比较，方程⑵的结果与例2.1.2比较，将会发现

逐步搜索法的MATLAB程序的优点.如果精度要求比较高，用这种逐步搜索法是不合算的.

2.3

2.3 2.3

2.3

二分法及其

二分法及其二分法及其

二分法及其 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 程序

程序程序

程序

2.3.1

2.3.1 2.3.1

2.3.1

二分法

二分法二分法

二分法

二分法也称逐次分半法

逐次分半法逐次分半法

逐次分半法.它的基本思想是：先确定方程

0)(

含根的区间（a,b），再

把区间逐次二等分.

我们可以根据式（2.3b）、区间[a,b]和误差

，编写二分法求方程根的迭代次数的 MATLAB

命令.

已知闭区间[a,b]和误差

.用二分法求方程误差不大于

的根的迭代次数

的

MATLAB 命令

k=-1+ceil((log(b-a)- log(abtol))/ log(2)) % ceil 是向+

∞

方向取整，abtol 是误差

2.3.2

2.3.2 2.3.2

2.3.2

二分法的

二分法的二分法的

二分法的 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 程序

程序程序

程序

二分法需自行编制程序，现提供用二分法求方程 f(x)=0 的根

的近似值

的步骤和式

（2.3a）编写一个名为 erfen.m 的二分法的 MATLAB 主程序如下.

二分法的

二分法的二分法的

二分法的 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 主程序

主程序主程序

主程序

求解方程

0)(

在开区间（a,b）内的一个根的前提条件是

)(xf

在闭区间[a,b]上

连续，且

0)()(

⋅

bfaf

输入的量：a和b是闭区间[a,b]的左、右端点，abtol是预先给定的精度.

运行后输出的量：k 是使用二分法的次数.x 是方程在（a,b）内的实根 x

的近似值，

第二章非线性方程（组）的数值解法的 MATLAB 程序

12．

高等教育出版社教育电子音像出版社作者：任玉杰

其精度是 abtol.wuca=|b

-a

|/2 是使用 k 次二分法所得到的小区间的长度的一半，即实根 x

的近似值 x 的绝对精度限,满足 wuca≤ abtol.y

=f(x

) ，即方程 f(x)=0 在实根 x

的近似值 x

处的函数值.

function [k,x,wuca,yx]=erfen(a,b,abtol)

a(1)=a; b(1)=b;

ya=fun(a(1)); yb=fun(b(1)); %程序中调用的fun.m 为函数

if ya* yb>0,

disp('注意：ya*yb>0,请重新调整区间端点a和b.'), return

end

max1=-1+ceil((log(b-a)- log(abtol))/ log(2)); % ceil是向

∞

方向取整

for k=1: max1+1

a;ya=fun(a); b;yb=fun(b); x=(a+b)/2;

yx=fun(x); wuca=abs(b-a)/2; k=k-1;

[k,a,b,x,wuca,ya,yb,yx]

if yx==0

a=x; b=x;

elseif yb*yx>0

b=x;yb=yx;

else

a=x; ya=yx;

end

if b-a< abtol , return, end

end

k=max1; x; wuca; yx=fun(x);

例

例例

例 2.3.

2.3.2.3.

2.3.3

3 3

确定方程 x

-x+4=0 的实根的分布情况，并用二分法求在开区间 (-2,-1)内的

实根的近似值，要求精度为 0.001.

解

解解

解（

（（

（1

1）

））

）先用两种方法确定方程

先用两种方法确定方程先用两种方法确定方程

先用两种方法确定方程 x

-x+4=0

的实根的分布情况

的实根的分布情况的实根的分布情况

的实根的分布情况。

。。

。

方法

方法方法

方法 1

作图法

作图法作图法

作图法.

在 MATLAB 工作窗口输入如下程序

>>x=-4:0.1:4;

y=x.^3-x +4; plot(x,y)

grid,gtext('y=x^3-x+4')

画出函数 f(x)=x

-x+4 的图像，如图 2-7.从图

像可以看出，此曲线有两个驻点

都在 x

轴的上方，在(-2,-1)内曲线与 x 轴只有一个

交点，则该方程有唯一一个实根，且在 (-2,-1)

内.

方法

方法方法

方法 2

试算法

试算法试算法

试算法.

在 MATLAB 工作窗口输入程序

>>x=-4: 1:4,y=x.^3-x +4

运行后输出结果

x = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = -56 -20 -2 4 4 4 10 28 64

由于连续函数 f(x)满足

0)1()2(

−

⋅

−

，所以此方程在(-2,-1)内有一个实根.

（

（（

（2

2）

））

）

用二分法的主程序计算

用二分法的主程序计算用二分法的主程序计算

用二分法的主程序计算.

在 MATLAB 工作窗口输入程序

>> [k,x,wuca,yx]=erfen (-2,-1,0.001)

运行后屏幕显示用二分法计算过程被列入表 2-3，其余结果为

图 2-7

第二章非线性方程（组）的数值解法的 MATLAB 程序

13．

高等教育出版社教育电子音像出版社作者：任玉杰

k = 9，x=-1.7959，

wuca = 9.7656e-004，yx = 0.0037

2.4

2.4 2.4

2.4 迭代法及其

迭代法及其迭代法及其

迭代法及其 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 程序

程序程序

程序

确定根的近似位置以后，接下来的工作就是将根精确化，即按某种方法将初始近似值逐

步精确化，直到满足所要求的精确度为止. 上节介绍的二分法是将根精确化的方法之一，但

是它的收敛速度较慢，且不能求出偶重根.迭代法可以克服这种缺陷.迭代法是求解方程的

根、线性和非线性方程组的解的基本而重要的方法.

2.4.2

2.4.2 2.4.2

2.4.2 迭代法的

迭代法的迭代法的

迭代法的 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 程序

程序程序

程序 1

迭代法需要自行编制程序.下面提供的迭代法的 MATLAB 程序 1 使用时只需输入迭代初始

值

、迭代次数 k、迭代公式 x

)和一条命令，运行后就可以输出求迭代序列

}{

、

迭代 k 次得到的迭代值

和相邻两次迭代的偏差 piancha =|

1−

−

| （简称偏差

偏差偏差

偏差）和偏

差的相对误差 xdpiancha=|

1−

−

的值，并且具有警报功能（若迭代序列发散，

则提示用户“请重新输入新的迭代公式”；若迭代序列收敛，则屏幕会出现“祝贺您！此迭

代序列收敛，且收敛速度较快”）.我们可以用这个程序来判断迭代序列的敛散性，也可以

用于比较由一个方程得到的几个迭代公式的敛散性的优劣.

迭代法的

迭代法的迭代法的

迭代法的 MATLAB

MATLABMATLAB

MATLAB 程序

程序程序

程序 1

1 1

输入的量：初始值

、迭代次数 k 和迭代公式

),2,1,0()(

kxx

；

运行后输出的量：迭代序列

}{

、迭代 k 次得到的迭代值

、相邻两次迭代的偏差

piancha

1−

−

|和它的偏差的相对误差

xdpiancha=

kkk

xxx

1−

−

的值.

根据迭代公式（2.4）和已知条件，现提供名为diedai1.m的M文件如下

function [k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai1(x0,k)

% 输入的量--x0是初始值,k是迭代次数

x(1)=x0;

for i=1:k

x(i+1)=fun1(x(i));%程序中调用的fun1.m为函数y=φ(x)

piancha= abs(x(i+1)-x(i)); xdpiancha= piancha/( abs(x(i+1))+eps);

i=i+1;xk=x(i);[(i-1) piancha xdpiancha xk]

end

if (piancha >1)&(xdpiancha>0.5)&(k>3)

disp('请用户注意：此迭代序列发散，请重新输入新的迭代公式')

return;

end

if (piancha < 0.001)&(xdpiancha< 0.0000005)&(k>3)

disp('祝贺您！此迭代序列收敛，且收敛速度较快')

return;

end

p=[(i-1) piancha xdpiancha xk]';

例

例例

例 2.4.1

2.4.12.4.1

2.4.1 求方程

102)(

−+= xxxf

的一个正根.

解

解解

解在 MATLAB 工作窗口输入程序

>> [k,piancha,xdpiancha,xk]= diedai1(2,5)

运行后输出用迭代公式

2/)10(

1 kk

xx −=

的结果

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zhenbuhui45

2022-12-14

总算找到了想要的资源，搞定遇到的大问题，赞赞赞！
风吹过你脸颊

2024-01-30

感谢资源主的分享，这个资源对我来说很有用，内容描述详尽，值得借鉴。
weixin_51566781

2022-10-12

资源内容详尽，对我有使用价值，谢谢资源主的分享。
加多寳

2023-01-02

这个资源总结的也太全面了吧，内容详实，对我帮助很大。
sinat_41884963

2023-02-17

资源和描述一致，质量不错，解决了我的问题，感谢资源主。

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心梓

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