动态背景-动态规划经典教程.docx

动态规划是一种重要的算法思想，广泛应用于解决最优化问题。它通过将复杂问题分解为相互重叠的子问题，然后逐步构建最优解。本教程主要介绍了动态规划的基本概念、适用范围和解决问题的一般思路。 动态规划的核心在于三个要素：阶段、状态和决策。阶段可以理解为解决问题的不同步骤，状态则表示在每个阶段问题的当前状态，而决策是影响状态变化的动作。以生产雪糕为例，阶段包括购买牛奶、提纯、加工、包装和销售等，状态可能是牛奶、半成品或成品雪糕，决策则如牛奶处理方式、包装方式等。状态之间通过决策形成状态转移，状态转移方程描述了如何从一个状态转移到另一个状态。 动态规划适用的范围主要为具有最优子结构和无后效性的多阶段决策最优化问题。最优子结构意味着局部最优解能组合成全局最优解，无后效性则表示当前状态的决策不会影响过去的决策。无后效性确保了可以从前向后依次计算，避免回溯。例如，最短路径问题中，到达目标的最短路径必然包含了子路径的最短路径。 解决问题的一般思路包括模型匹配、三要素法、寻找规律、边界条件法以及放宽约束和增加约束。模型匹配是指识别问题与已知的动态规划模型（如背包问题、最短路径问题等）的关系。三要素法则是明确阶段、状态和决策，这通常需要对问题深入分析。寻找规律通常通过推导几组数据来发现解题的规律。边界条件法关注问题的极端情况，以此为基础构建解决方案。放宽约束或增加约束有时可以帮助简化问题，使其更适合动态规划。 以状态一维的动态规划问题为例，如最长下降子序列问题，目标是在一个无序序列中找到最长的下降子序列。问题分析表明，该问题满足最优子结构和无后效性，因此可以使用动态规划解决。状态定义为`opt[i]`，表示序列前i个元素中，包含第i个元素的最长下降子序列长度。决策是找出前i-1个元素中使得`aj > ai`的最大`opt[j]`，更新`opt[i]`为`max(opt[j])+1`。 通过以上讲解，我们可以看到动态规划不仅是一个理论概念，而且在实际问题解决中有着广泛的应用。掌握动态规划的原理和应用技巧，对于解决复杂优化问题至关重要。在后续的学习中，可以深入探讨更多动态规划的模型和应用实例，进一步提升解决问题的能力。