初等数学方法建模
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第二章 初等数学方法建模
现实世界中有很多问题,它的机理较简单,用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型,使用初等的数学方
法,即可求解,我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数,比例关系,状态转移,及量刚分析
等建模例子,这些问题的巧妙的分析处理方法,可使读者达到举一反三,开拓思路,提高分析, 解决实际问
题的能力。
第一节 有关自然数的几个模型
1.1 鸽笼原理
鸽笼原理又称为抽屉原理,把
N
个苹果放入
)( Nnn �
个抽屉里,则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果。
问题 1:如果有
N
个人,其中每个人至多认识这群人中的
)( Nnn �
个人(不包括自己),则至少有两
个人所认识的人数相等。
分析:我们按认识人的个数,将
N
个人分为
n,2,1,0 �
类,其中
)0( nkk ��
类,表示认识
k
个人,这
样形成
1�n
个“鸽笼”。若
1�� Nn
,则
N
个人分成不超过
1�N
类,必有两人属于一类,也即有
两个人所认识的人数相等;若
1�� Nn
,此时注意到
0
类和
N
类必有一个为空集,所以不空的“鸽笼”
至多为
1�N
个,也有结论成立
问题 2:在一个边长为
1
的正三角形内最多能找到几个点,而使这些点彼此间的距离大于
5.0
.
分析:边长为 1 的正三角形
ABC�
,分别以
CBA ,,
为中心,
5.0
为半径圆弧,将三角形分为四个部
分(如图 1-1 ),则四部分中任一部分内两点距离都小于
5.0
,由鸽笼原理知道,在三角形内最多能找四
个点,使彼此间距离大于
5.0
,且确实可找到如
CBA ,,
及三角形中心四个点。
图 1—1
问题 3:能否在
88�
的方格表
ABCD
的各个空格中,分别填写
3,2,1
这三个数中的任一个,使得每行,
每列及对角线
BDAC,
的各个数的和都不相同?为什么?