matlab数学建模实例与编程教程第三章非线性规划_数学建模线性规划例题和答案使用MatLab求解资源-CSDN文库

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-19-

第三章非线性规划

§1 非线性规划

1.1 非线性规划的实例与定义

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。

一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有单纯

形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自

己特定的适用范围。

下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本

概念。

例 1 （投资决策问题）某企业有

个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个

项目投资。已知该企业拥有总资金

元，投资于第

),,1( nii ��

个项目需花资金

元，

并预计可收益

元。试选择最佳投资方案。

解设投资决策变量为

�

个项目决定不投资第，

个项目决定投资第

，

ni ,,1 ��

，

则投资总额为

�

，投资总收益为

�

。因为该公司至少要对一个项目投资，并

且总的投资金额不能超过总资金

，故有限制条件

�

��

Axa

另外，由于

),,1( nix

��

只取值 0 或 1，所以还有

.,,1,0)1( nixx

��

最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归

结为总资金以及决策变量（取 0 或 1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因

此，其数学模型为：

�

max

s.t.

�

��

Axa

.,,1,0)1( nixx

��

上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问

题，其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问

题，简记为（NP）。可概括为一般形式

)(min xf

qjxh

,,1,0)(s.t. ��

(NP)

pixg

,,1,0)( ��

-20-

其中

xxx ][

��

称为模型（ NP ）的决策变量，

称为目标函数，

),,1( pi ��

和

),,1( qjh

��

称为约束函数。另外，

0)( �xg

),,1( pi ��

称为

等式约束，

0)( �xh

),,1( qj ��

称为不等式约束。

对于一个实际问题，在把它归结成非线性规划问题时，一般要注意如下几点：

（i）确定供选方案：首先要收集同问题有关的资料和数据，在全面熟悉问题的基

础上，确认什么是问题的可供选择的方案，并用一组变量来表示它们。

（ii）提出追求目标：经过资料分析，根据实际需要和可能，提出要追求极小化

或极大化的目标。并且，运用各种科学和技术原理，把它表示成数学关系式。

（iii）给出价值标准：在提出要追求的目标之后，要确立所考虑目标的“好”或

“坏”的价值标准，并用某种数量形式来描述它。

（iv）寻求限制条件：由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或

极大化效果，因此还需要寻找出问题的所有限制条件，这些条件通常用变量之间的一些

不等式或等式来表示。

1.2 线性规划与非线性规划的区别

如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行

域的顶点上达到）；而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的任

意一点达到。

1.3 非线性规划的 Matlab 解法

Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式

)(min xf

�

��

�

0)(

xCeq

BeqxAeq

BAx

其中

)(xf

是标量函数，

BeqAeqBA ,,,

是相应维数的矩阵和向量，

)(),( xCeqxC

是

非线性向量函数。

Matlab 中的命令是

X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)

它的返回值是向量

，其中 FUN 是用 M 文件定义的函数

)(xf

；X0 是

的初始值；

A,B,Aeq,Beq 定义了线性约束

BeqXAeqBXA �� *,*

，如果没有等式约束，则

A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]；LB 和 UB 是变量

的下界和上界，如果上界和下界没有约

束，则 LB=[]，UB=[]，如果

无下界，则 LB=-inf，如果

无上界，则 UB=inf；NONLCON

是用 M 文件定义的非线性向量函数

)(),( xCeqxC

；OPTIONS 定义了优化参数，可以使

用 Matlab 缺省的参数设置。

例 2 求下列非线性规划问题

�

��

.0,

8)(min

xxxf

-21-

（i）编写 M 文件 fun1.m

function f=fun1(x);

f=x(1)^2+x(2)^2+8;

和M文件fun2.m

function [g,h]=fun2(x);

g=-x(1)^2+x(2);

h=-x(1)-x(2)^2+2; %等式约束

（ii）在 Matlab 的命令窗口依次输入

options=optimset;

[x,y]=fmincon('fun1',rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[], ...

'fun2', options)

就可以求得当

1,1

�� xx

时，最小值

10�y

。

1.4 求解非线性规划的基本迭代格式

记（NP）的可行域为

。

若

Kx �

，并且

Kxxfxf �� ),()(

则称

是（NP）的整体最优解，

)(

是(NP)的整体最优值。如果有

,),()( xxKxxfxf ��

则称

是（NP）的严格整体最优解，

)(

是(NP)的严格整体最优值。

若

Kx �

，并且存在

的邻域

)(

�

，使

KxNxxfxf �)(),()(

�

��

，

则称

是（NP）的局部最优解，

)(

是(NP)的局部最优值。如果有

KxNxxfxf �)(),()(

�

��

则称

是（NP）的严格局部最优解，

)(

是(NP)的严格局部最优值。

由于线性规划的目标函数为线性函数，可行域为凸集，因而求出的最优解就是整

个可行域上的全局最优解。非线性规划却不然，有时求出的某个解虽是一部分可行域上

的极值点，但并不一定是整个可行域上的全局最优解。

对于非线性规划模型(NP)，可以采用迭代方法求它的最优解。迭代方法的基本思

想是：从一个选定的初始点

Rx �

�

出发，按照某一特定的迭代规则产生一个点列

}{

，

使得当

}{

是有穷点列时，其最后一个点是(NP)的最优解；当

}{

是无穷点列时，它

有极限点，并且其极限点是(NP)的最优解。

设

Rx �

是某迭代方法的第

轮迭代点，

Rx �

�1

是第

1�k

轮迭代点，记

ptxx ��

�1

（1）

这里

1,,

��

knk

pRpRt

，显然

是由点

与点

1�k

确定的方向。式（1）就

是求解非线性规划模型(NP)的基本迭代格式。

通常，我们把基本迭代格式（1）中的

称为第

轮搜索方向，

为沿

方向的

步长，使用迭代方法求解(NP)的关键在于，如何构造每一轮的搜索方向和确定适当的步

长。

设

0, �� pRx

，若存在

0�

�

，使

-22-

),0(),()(

�

�� txftpxf

，

称向量

是

在点

处的下降方向。

设

0, �� pRx

，若存在

0�t

，使

Ktpx ��

，

称向量

是点

处关于

的可行方向。

一个向量

，若既是函数

在点

处的下降方向，又是该点关于区域

的可行方

向，则称之为函数

在点

处关于

的可行下降方向。

现在，我们给出用基本迭代格式（1）求解(NP)的一般步骤如下：

0° 选取初始点

，令

0:�k

。

1° 构造搜索方向，依照一定规则，构造

在点

处关于

的可行下降方向作为

搜索方向

。

2° 寻求搜索步长。以

为起点沿搜索方向

寻求适当的步长

，使目标函数值

有某种意义的下降。

3° 求出下一个迭代点。按迭代格式（1）求出

ptxx ��

�1

。

若

1�k

已满足某种终止条件，停止迭代。

4° 以

1�k

代替

，回到 1°步。

1.5 凸函数、凸规划

设

)(xf

为定义在

维欧氏空间

)(n

中某个凸集

上的函数，若对任何实数

)10( ��

��

以及

中的任意两点

)1(

和

)2(

，恒有

)()1()())1((

)2()1()2()1(

xfxfxxf

��

则称

)(xf

为定义在

上的凸函数。

若对每一个

)10( ��

��

和

Rxx ��

)2()1(

恒有

)()1()())1((

)2()1()2()1(

xfxfxxf

��

则称

)(xf

为定义在

上的严格凸函数。

考虑非线性规划

�

��

�

},,2,1,0)(|{

)(min

ljxgxR

�

假定其中

)(xf

为凸函数，

),,2,1)(( ljxg

��

为凸函数，这样的非线性规划称为

凸规划。

可以证明，凸规划的可行域为凸集，其局部最优解即为全局最优解，而且其最优

解的集合形成一个凸集。当凸规划的目标函数

)(xf

为严格凸函数时，其最优解必定唯

一（假定最优解存在）。由此可见，凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义的非

线性规划。

§2 无约束问题

2.1 一维搜索方法

当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数

-23-

的极小点。一维搜索的方法很多，常用的有：（1）试探法（“成功—失败”，斐波那契法，0.618

法等）；插值法（抛物线插值法，三次插值法等）；（3）微积分中的求根法（切线法，二

分法等）。

考虑一维极小化问题

)(min tf

bta ��

（2）

若

)(tf

是

],[ ba

区间上的下单峰函数，我们介绍通过不断地缩短

],[ ba

的长度，来

搜索得（2）的近似最优解的两个方法。

为了缩短区间

],[ ba

，逐步搜索得（2）的最优解

的近似值，我们可以采用以下

途径：在

],[ ba

中任取两个关于

],[ ba

是对称的点

和

（不妨设

tt �

，并把它们叫

做搜索点），计算

)(

和

)(

并比较它们的大小。对于单峰函数，若

)()(

tftf �

，

则必有

],[

tat �

，因而

],[

是缩短了的单峰区间；若

)()(

tftf �

，则有

],[

btt �

，

故

],[

是缩短了的单峰区间；若

)()(

tftf �

，则

],[

和

],[

都是缩短了的单峰。

因此通过两个搜索点处目标函数值大小的比较，总可以获得缩短了的单峰区间。对于新

的单峰区间重复上述做法，显然又可获得更短的单峰区间。如此进行，在单峰区间缩短

到充分小时，我们可以取最后的搜索点作为（2）最优解的近似值。

应该按照怎样的规则来选取探索点，使给定的单峰区间的长度能尽快地缩短？

2.1.1 Fibonacci 法

若数列{

}满足关系：

�� FF

,,3,2,

��

nFFF

nnn

则称

}{

为 Fibonacci 数列，

称为第

个 Fibonacci 数，称相邻两个 Fibonacci 数之

比

1�

为 Fibonacci 分数。

当用斐波那契法以

个探索点来缩短某一区间时，区间长度的第一次缩短率为

1�

，

其后各次分别为

,,,

�

��

。由此，若

和

)(

122

ttt �

是单峰区间

],[ ba

中第 1

个和第 2 个探索点的话，那么应有比例关系

�

，

�

从而

)(

��

�

，

)(

��

�

（3）

它们关于

],[ ba

确是对称的点。

如果要求经过一系列探索点搜索之后，使最后的探索点和最优解之间的距离不超

过精度

0�

�

，这就要求最后区间的长度不超过

�

，即

�

（4）

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