一元二次方程练习题与答案.doc
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【一元二次方程】 一元二次方程是数学中的基本概念,形式为ax² + bx + c = 0,其中a、b、c是常数,a≠0。这类方程的解可以通过多种方法获得,包括直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式(也叫韦达定理)以及图象法。 1. **选择题解析** - 第1题考察了一元二次方程的一般形式,正确答案是D,因为2x²+3x+1=0的系数依次为2、3、1。 - 第2题通过配方法解方程x²-4x=5,将x²-4x+4=5+4转换成(x-2)²=9,因此答案是D。 - 第3题利用韦达定理,如果x1和x2是方程ax²+bx+c=0的解,那么x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a。如果x1=3,代入得3+b/a=9,所以b/a=6,选项B正确。 - 第4题同理,如果x1和x2是方程ax²+bx+c=0的解,x1*x2=c/a,若x1*x2=-6,那么c/a=-6,若a=1,c=-6,选项B正确。 - 第5题表示服装降价问题,设每次降价比例为x,则173(1-x)(1-x)=127,化简后得到的方程是173(1-x)²=127,对应选项是B。 - 第6题通过表格数据分析,找出方程的解,观察数据可知x=3.25时y=0,而x=3.24时y<0,x=3.26时y>0,因此解在3.24到3.25之间,答案是B。 - 第7题结合三角形边长关系,设第三边为x,即x²+3²=4²或x²+4²=3²,解得x=5或x=1,但x不能同时等于这两个值,故答案是D。 - 第8题应用韦达定理,如果x1和x2是方程ax²+bx+c=0的解,那么x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a。题目中x1+x2=2,x1*x2=1,因此2=-b/a,1=c/a,选项D正确。 - 第9题分析方程的判别式Δ=b²-4ac,当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根。根据k的不同,答案是D。 - 第10题设每年增长率为x,那么173(1-x)²=127,解得x约等于20%,答案是B。 2. **填空题解析** - 第11题利用新定义的运算,x1*x2=(x1+x2)²-2x1x2,由韦达定理知x1+x2=5,x1*x2=6,所以x1*x2=5²-2*6=19。 - 第12题若x1=-1是方程x²+mx-5=0的根,代入得1-m-5=0,解得m=-4,另一根x2=5/(1-m)=-1。 - 第13题若一元二次方程ax²+bx+c=0有一个根为1,那么a+b+c=0;如果有一个根是,则b/a=-;若有一个根为,则c/a=-。 - 第14题方程有两个相等的实数根,意味着Δ=0,即4²-4*(-m)=0,解得m=-1。 - 第15题方程没有实数根,即Δ<0,即36-4c<0,解得c>9。 - 第16题利用韦达定理,m+n=-3,mn=-7,m²+4m+n=m(m+4)+n=m²+4m-n,代入得m²+4m+n=m²-4-(-7)=3。 - 第17题方程x²-2x=0可因式分解为x(x-2)=0,解得x=0或x=2。 - 第18题设该两位数为10a+b,由题意知b²=a+b,且b=a+3,联立解得a=2,b=5,所以这个两位数是25。 3. **解答题解析** - 第19题中,(1)当c=0时,方程变为ax²=0,是一元一次方程;(2)当c≠0时,方程为一元二次方程,二次项系数是a,一次项系数是0,常数项是c。 - 第20题要求用配方法解方程,例如(1)将x²-4x+4=5+4转换成(x-2)²=9,然后解出x;其他题目类似。 - 第21题是利润问题,设第二周单价降低x元,总利润=200(10-x)+(10-x-4)(200+50x)-6*600,令其等于1250,解出x即可。 - 第22题商场利润问题,设降价y元,那么利润=500(0.3-y)+(0.3-y+0.1)(500+100y),令其等于120,解出y。 - 第23题(1)要求方程有两个不相等的实数根,需Δ>0,即b²-4ac>0,解不等式得到k的范围;(2)如果两个根的倒数和为0,那么1/x1+1/x2=0,结合韦达定理,求解k。 这些题目涵盖了方程的解法、判别式、韦达定理、方程组的解法、实际应用等多个方面,旨在检验学生对一元二次方程的理解和应用能力。
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