一元二次方程经典练习题与答案.doc

【一元二次方程经典练习题与答案】 一元二次方程是中学数学中的核心概念，通常形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，a≠0。此类方程的解可以通过求根公式（也称韦达定理）x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a)得到。 1. 在选择题第1题中，寻找常数项为零的方程。根据一元二次方程的一般形式，常数项c为零的方程是B选项2x² - x - 12 = 12，简化后为2x² - x = 0。 2. 第2题中，我们需要识别哪些是真正的一元二次方程。一元二次方程必须是形如ax² + bx + c = 0的方程。因此，符合此条件的方程有①x² = 0，④3- = 0（假设“-”代表x的平方），以及⑤-8x + 1 = 0。所以，答案是C，有3个一元二次方程。 3. 第3题要求将方程化为一般形式。通过展开和合并同类项，方程(x-)(x+) + (2x-1)² = 0可以化简为5x² - 4x - 4 = 0。 4. 方程x² = 6x的解可以通过移项得到，即x² - 6x = 0，然后因式分解为x(x - 6) = 0，得出解x1 = 0, x2 = 6。 5. 将2x² - 3x + 1 = 0配方法变为(x + a)² = b的形式，解得a = -3/4, b = 13/8，对应答案是A. 6. 两个连续整数的积为56，设较小的整数为n，则n(n+1) = 56，解得n = 7或n = -8。因此，它们的和为n + (n+1) = 15或-15。 7. 判断方程无实数根，主要看判别式Δ = b² - 4ac是否小于0。对于A选项，Δ = (-2)² - 4(-1)(-1) = 0，有实数根；B选项，Δ = 4² - 4(4)() = 0，有实数根；C选项，Δ = (-1)² - 4(1)(-1) = 5，有实数根；D选项，(x+2)(x-3) = -5，化简后为x² - x - 11 = 0，Δ = 1 + 44 = 45 > 0，也有实数根。所以，没有实数根的方程是D。 8. 营业额问题属于增长率问题。设增长率为x，由题意得200[1 + (1 + x) + (1 + x)²] = 1000，这是关于x的一元二次方程。 二、填空题： 9. 方程化为一般形式后为x² + 4x - 4 = 0，一次项系数是4。 10. 一元二次方程有实数解的条件是判别式Δ = b² - 4ac ≥ 0。 11. 解方程3(x - 2)² = 2x - 4，使用因式分解法较为简便。 12. 设2x² + 1与4x² - 2x - 5互为相反数，即2x² + 1 = - (4x² - 2x - 5)，解得x = 1。 13. 方程2x(kx - 4) - x² + 6 = 0无实数根，即Δ = (2k)² - 4 * 2 * (6 - 4k) < 0，解得k < 2，所以k的最小整数值是1。 14. 方程4mx² - mx + 1 = 0有两个相等实数根，根据判别式Δ = m² - 4 * 4m * 1 = 0，解得m = 0或m = 16。 15. 方程(k - 1)x² - 4x - 5 = 0有两个不相等实数根，即Δ = (-4)² - 4(k - 1)(-5) > 0，解得k < 9/4，k的取值范围是k < 9/4。 16. 设每次降价的百分比为x，根据题意可列出方程7200 * (1 - x)² = 3528，解得x ≈ 0.1，即10%。 三、解答题： 17. 解一元二次方程通常使用因式分解法、配方法或求根公式。具体步骤如下： (1) 5x(x - 3) = 6 - 2x，化简后为5x² - 13x + 6 = 0，因式分解得(5x - 3)(x - 2) = 0，解得x = 3/5或x = 2。 (2) 3y² + 1 = ，化简后为3y² - y = 0，因式分解得y(3y - 1) = 0，解得y = 0或y = 1/3。 (3) (x - a)² = 1 - 2a + a²，化简后为(x - a)² = (1 - a)²，开平方得x - a = ±(1 - a)，解得x = 2a - 1或x = a。 18. 已知方程x² + mx + n = 0的一个解是2，代入得2² + 2m + n = 0，即4 + 2m + n = 0。另一个解是正数，同时也是方程(x + 4)² - 5² = 3x的解，化简后为x² + 8x + 9 = 0，解得x = -4 - 3或x = -4 + 3，因为另一个解是正数，所以x = 3。将x = 3代入方程x² + mx + n = 0，得9 + 3m + n = 0。联立这两个方程，解得m = -6，n = 8。 19. (1) 证明方程x² - 2kx + k² - 2 = 0总有两不相等实数根，计算判别式Δ = (2k)² - 4 * 1 * (k² - 2) = 8 > 0，因此结论成立。 (2) 设x1, x2是方程的根，根据韦达定理，x1 + x2 = 2k，x1x2 = k² - 2。已知x1² - 2kx1 + 2x1x2 = 5，代入韦达定理，得k² - 2k - 3 = 0，解得k = 3或k = -1。 四、列方程解应用题： 20. 设每年下降的百分数为x，那么经过两年后，成本变为原价的(1 - x)²倍，所以(1 - x)² = 1 - 36%，解得x ≈ 20%。 21. 设3、4月份平均每月的增长率为y，1月份销售额为100万元，2月份下降10%为100 * (1 - 10%)，3月份为100 * (1 - 10%) * (1 + y)，4月份为100 * (1 - 10%) * (1 + y)² = 129.6，解得y ≈ 20%。 这些练习题涵盖了从基本的一元二次方程性质到更复杂的应用，包括解方程、判断实数根的存在性、增长率问题，以及利用韦达定理和判别式解决相关问题。通过这些题目，学生可以巩固对一元二次方程的理解和应用能力。