数值实践 线性方程组迭代汇编
本文主要介绍了数值实践中的线性方程组迭代汇编，涵盖了 Jacobi、Gauss-Seidel、SOR 和 CG 等四种迭代方法的原理、算法和优缺点比较。
一、实验目的及内容
在数值实践中，线性方程组的迭代求解是非常重要的。 Jacobi、Gauss-Seidel、SOR 和 CG 等迭代方法是常用的方法，本次实验的目的是探究这些方法对于不同线性方程组的求解过程中在运行时间、计算误差等方面的异同，比较各方法间的优缺点，从而得出效率较高的算法推广应用。
二、相关背景知识介绍
迭代法是一种逐步逼近的方法，尤其是在高速计算机的出现和广泛应用后，使得迭代法更加容易实现。求解线性方程组的迭代法具有存储空间小、程序设计简单等优点。对于大型线性方程组（尤其是大型工程问题所产生的线性方程组），迭代法更加优越。
2.1 Jacobi 迭代
Jacobi 迭代是将线性方程组中的系数矩阵分成三部分，即对角矩阵 D、下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U。然后，选择 M 为 A 的对角线元素部分，即选取 M = D，N = -A/D，得到雅可比迭代法的迭代矩阵 J。
2.2 Gauss-Seidel 迭代
Gauss-Seidel 迭代是选取分裂矩阵 M 为 A 的下三角部分，即选取 M = L，N = -A/L，得到高斯-塞德尔迭代法的迭代矩阵 G。
2.3 SOR 迭代
SOR 迭代是选取分裂矩阵 M 为带参数的下三角矩阵 M = ωL，其中 0 < ω < 2 为松弛因子。然后，得到逐次超松弛迭代法的迭代矩阵。
2.4 CG 迭代
CG 迭代是指共轭梯度法算法，该算法可以解决对称正定矩阵的线性方程组。设 A 是对称正定的，若 nR 中的向量组满足一定条件，则称它是 nR 中的一个 A-共轭向量组。
三、程序代码
程序代码部分主要包括 Jacobi、Gauss-Seidel、SOR 和 CG 等四种迭代方法的实现代码。每种方法都有其特点和优缺点，本文对其进行了详细的介绍和比较。
四、数值结果
数值结果部分主要包括四种迭代方法在不同线性方程组中的性能比较。通过比较迭代次数、运行时间和计算误差等方面的结果，得出结论：SOR 方法的迭代次数最少，CG 方法的计算误差最小，Gauss-Seidel 方法的运行时间最短。
五、计算结果的分析
计算结果的分析部分主要对四种迭代方法的优缺点进行了详细的分析。SOR 方法的优点是迭代次数少，但其计算误差较大；CG 方法的优点是计算误差小，但其迭代次数较多；Gauss-Seidel 方法的优点是运行时间短，但其计算误差较大。Jacobi 方法的优点是实现简单，但其迭代次数较多，计算误差较大。
六、计算中出现的问题、解决方法及体会
计算中出现的问题主要是迭代次数较多、计算误差较大等问题。解决方法是选择合适的迭代方法和参数设置。通过本次实验，我们得出了以下结论：对于不同线性方程组，选择合适的迭代方法和参数设置非常重要。
