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数学建模实验报告最优捕鱼策略 本实验报告旨在通过数学建模，探讨最优捕鱼策略问题。该问题的目的是在可持续捕捞的前提下，实现最高的经济效益。通过建立数学模型，分析如何实现可持续捕捞，并在此前提下得到最高的收获量。 一、实验目的 1. 了解与熟练掌握常系数线性差分方程的解法。 2. 通过最优捕鱼策略建模案例，使用 MATLAB 软件认识与掌握差分方程模型在实际生活方面的重要作用。 二、实验内容 本实验内容主要涉及到捕鱼策略的数学建模。考虑具有 4 个年龄鱼：1 龄鱼，…，4 龄鱼的某种鱼。该鱼类在每年后 4 个月季节性集中产卵繁殖。捕捞作业只允许在前 8 个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。 假设鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的。年龄鱼到来年分别长一岁成为 i + 1 龄鱼，i = 1，2，3。4 龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为 1 年，可以只考虑鱼群数量在 1 年内的变化情况。 三、模型建立 设 xi（t）：在 t 时刻 i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n：每年的产卵量；k：4 龄鱼捕捞强度系数；a i0：每年初 i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4。 则可以建立数学模型如下： max（total（k））=∫［2/300.42kx3（t）dt ＋ 22.99∫［2/30kx4（t）dt］ subject to： dx1（t）/dt ＝ －0.8x1（t），t ∈ ［0，1］，x1（0）＝ n ×1.22×10＋ ndt dx2（t）/dt ＝ －0.8x2（t），t ∈ ［0，1］，x2（0）＝ x1（1） dx3（t）/dt ＝ －（0.8 ＋ 0.42k）x3（t），t ∈ ［0，2/3］，x3（0）＝ x2（1） dx3（t）/dt ＝ －0.8x3（t），t ∈ ［2/3，1］，x3（2/3）＝ x3（2/3＋） dx4（t）/dt ＝ －（0.8 ＋ k）x4（t），t ∈ ［0，2/3］，x4（0）＝ x3（1） dx4（t）/dt ＝ －0.8x4（t），t ∈ ［2/3，1］，x4（2/3）＝ x4（2/3＋） n ＝ 1.109×10^5［0.5x3（1）＋ x4（1）］ 四、模型求解 使用 MATLAB 软件对模型进行求解。建立一个 M 文件： function y = buyu（x） global a10 a20 a30 a40 total k; syms k a10; x1 = dsolve（'Dx1 = *x1'，'x1（0）= a10'）; t = 1; a20 = subs（x1）; x2 = dsolve（'Dx2 = *x2'，'x2（0）= a20'）; t = 1; a30 = subs（x2）; x31 = dsolve（'Dx31 = -（0.8 + k）*x31'，'x31（0）= a30'）; t = 2/3; a31 = subs（x31）; x32 = dsolve（'Dx32 = *x32'，'x32（2/3）= a31'）; t = 1; a40 = subs（x32）; x41 = dsolve（'Dx41 = -（0.8 + k）*x41'，'x41（0）= a40'）; t = 2/3; a41 = subs（x41）; x42 = dsolve（'Dx42 = *x42'，'x42（2/3）= a41'）; t = 2/3; a31 = subs（x31）; nn = 1.109×10^5＊a31 + a41; Equ = a10 - nn＊10^11 / (10^11 + nn); S = solve（Equ，a10）; a10 = S（2，1）; syms t; k = x; t3 = subs（subs（int（k＊x31，t，0，2/3））); t4 = subs（subs（int（k＊x41，t，0，2/3））); total = *t3 + *t4; y = subs（（-1）＊total） 然后，建立另一个 M 文件： global a10 a20 a30 a40 total; ［k，mtotal］ = fminsearch（@buyu，0.5） 通过以上模型和算法，可以解决捕鱼策略问题，获得最高的经济效益。