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J3 参数方程和极坐标系
一、 知识要点
〔一〕曲线的参数方程的定义:
在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数,即
并且对于 t 每一个允许值,由方程组所确定的点 M〔x,y〕都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲
线的参数方程,联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数.
〔二〕常见曲线的参数方程如下:
1.过定点〔x
0
,y
0
〕,倾角为 α 的直线: 〔t 为参数〕
其中参数 t 是以定点 P〔x
0
,y
0
〕为起点,对应于 t 点 M〔x,y〕为终点的有向线段 PM 的数量,又称为
点 P 与点 M 间的有向距离.
根据 t 的几何意义,有以下结论.
. 设 A 、 B 是 直 线 上 任 意 两 点 , 它 们 对 应 的 参 数 分 别 为 t
A
和 t
B
, 那 么 = =
..线段 AB 的中点所对应的参数值等于 .
2.中心在〔x
0
,y
0
〕,半径等于 r 的圆: 〔 为参数〕
3.中心在原点,焦点在 x 轴〔或 y 轴〕上的椭圆: 〔 为参数〕〔或 〕
中心在点〔x
0
,y
0
〕焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程
4.中心在原点,焦点在 x 轴〔或 y 轴〕上的双曲线: 〔 为参数〕〔或 〕
5.顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线: 〔t 为参数,p>0〕
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