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数列求和的各种方法.doc
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数列求和的各种方法.doc
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. .
数列求和的方法
教学目标
1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式.
2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的问题.
教学内容
知识梳理
1.求数列的前 n 项和的方法
(1)公式法
① 等差数列的前 n 项和公式
S
n
= =na
1
+ .
② 等比数列的前 n 项和公式
(Ⅰ)当 q=1 时,S
n
=na
1
;
(Ⅱ)当 q≠1 时,S
n
= =.
③ 常见的数列的前 n 项和:
1 2 3 ……+n=
( 1)
2
n n
, 1+3+5+……+(2n-1)=
2
n
2 2 2 2
1 2 3 ……+n =
( 1)(2 1)
6
n n n
,
3 3 3 3
1 2 3 ……+n =
2
( 1)
2
n n
等
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾假设干项.
(4)倒序相加法
这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法,将一个数列倒过来排序,如果原数列相加时,假设有公因
式可提,并且剩余项的和易于求得,那么这样的数列可用倒序相加法求和.
(5)错位相减法
这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,主要用于求{a
n
·b
n
}的前 n 项和,其中{a
n
}和{b
n
}
分别是等差数列和等比数列.
(6)并项求和法
一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,那么称之为并项求和.形如 a
n
=(-1)
n
f
(
n)类型,可采用
两项合并求解.
例如,S
n
=100
2
-99
2
+98
2
-97
2
+…+2
2
-1
2
=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
. .word.zl.
. .
2. 常见的裂项公式
(1) =-;
(2) =(-);
(3) =(-);
(4) = ;
(5)=(-).
(6)设等差数列{a
n
}的公差为 d,那么=(-).
数列求和题型
考点一公式法求和
1.(2016·新课标全国Ⅰ){a
n
}是公差为 3 的等差数列,数列{b
n
}满足 b
1
=1,b
2
=,a
n
b
n
+
1
+b
n
+
1
=
nb
n
.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)求{b
n
}的前 n 项和.
2.(2013·新课标全国Ⅱ,17)等差数列{a
n
}的公差不为零,a
1
=25,且 a
1
,a
11
,a
13
成等比数列.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)求 a
1
+a
4
+a
7
+…+a
3n
-
2
.
变式训练
1.(2015·XX,16)设数列{a
n
}(n=1,2,3,…)的前 n 项和 S
n
满足 S
n
=2a
n
-a
1
,且 a
1
,a
2
+1,a
3
成
等差数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设数列的前 n 项和为 T
n
,求 T
n
.
2.(2014·XX,17)在等比数列{a
n
}中,a
2
=3,a
5
=81.
. .word.zl.
. .
(1)求 a
n
;
(2)设 b
n
=log
3
a
n
,求数列{b
n
}的前 n 项和 S
n
.
考点二错位相减法
1.(XX)数列
n
a
的前 n 项和 S
n
=3n
2
+8n,
n
b
是等差数列,且
1
.
n n n
a b b
〔Ⅰ〕求数列
n
b
的通项公式;
〔Ⅱ〕令
1
( 1)
.
( 2)
n
n
n
n
n
a
c
b
求数列
n
c
的前 n 项和 T
n
.
2.(2015·XX,18)数列{a
n
}满足 a
n
+
2
=qa
n
(q 为实数,且 q≠1),n∈N
*
,a
1
=1,a
2
=2,且 a
2
+a
3
,a
3
+a
4
,a
4
+a
5
成等差数列.
(1)求 q 的值和{a
n
}的通项公式;
(2)设 b
n
=,n∈N
*
,求数列{b
n
}的前 n 项和.
变式训练
1.(2014·XX,17)首项都是 1 的两个数列{a
n
},{b
n
}(b
n
≠0,n∈N
*
)满足 a
n
b
n
+
1
-a
n
+
1
b
n
+2b
n
+
1
b
n
=0.
(1)令=,求数列{}的通项公式;
(2)假设 b
n
=3
n
-
1
,求数列{a
n
}的前 n 项和 S
n
.
. .word.zl.
. .
2.(2014·XX,19)设等差数列{a
n
}的公差为 d,点(a
n
,b
n
)在函数 f(x)=2
x
的图象上(n∈N
*
).
(1)假设 a
1
=-2,点(a
8
,4b
7
)在函数 f(x)的图象上,求数列{a
n
}的前 n 项和 S
n
;
(2)假设 a
1
=1,函数 f(x)的图象在点(a
2
,b
2
)处的切线在 x 轴上的截距为 2-,求数列的前 n 项和 T
n
.
3.(2015·XX,18)设等差数列{a
n
}的公差为 d,前 n 项和为 S
n
,等比数列{b
n
}的公比为 q,b
1
=a
1
,b
2
=2,q=d,S
10
=100.
(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(2)当 d>1 时,记=,求数列{}的前 n 项和 T
n
.
. .word.zl.
. .
4.(2015·XX,18)设数列{a
n
}的前 n 项和为 S
n
.2S
n
=3
n
+3.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)假设数列{b
n
}满足 a
n
b
n
=log
3
a
n
,求{b
n
}的前 n 项和 T
n
.
5.(2015·XX,17)数列{a
n
}和{b
n
}满足 a
1
=2,b
1
=1,a
n
+
1
=2a
n
(n∈N
*
),b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
=b
n
+
1
-1(n∈N
*
).
(1)求 a
n
与 b
n
;
(2)记数列{a
n
b
n
}的前 n 项和为 T
n
,求 T
n
.
6.(2015·XX,19)设数列{a
n
}的前 n 项和为 S
n
,a
1
=1,a
2
=2,且 a
n
+
2
=3S
n
-S
n
+
1
+3, n∈N
*
.
. .word.zl.
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