线性代数是一门研究向量、矩阵和线性映射的数学学科，在工程、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用。这份同济大学的线性代数试题涵盖了多个核心概念和技能，包括矩阵运算、行列式计算、秩、特征值与特征向量、线性相关性和线性无关性、正交矩阵、二次型以及正交变换。
1. 矩阵运算：题目涉及到矩阵的转置（AT）、伴随矩阵（A*）、秩（Rank(A)）和行列式（|A|）。例如，题目要求计算伴随矩阵的逆的行列式，这需要理解伴随矩阵与原矩阵行列式的性质，即|A*| = |A|^(-1)。
2. 方程组的解：方程组可能有唯一解、无解或无穷多解，这取决于系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系。例如，题目中询问了非零解存在的条件，这通常涉及到系数矩阵的行列式是否为零。
3. 矩阵的逆与乘法：矩阵乘法不满足交换律，但逆矩阵的乘法规则有特定的形式，如(AB)-1 = B-1A-1。此外，(A+B)-1 ≠ A-1 + B-1，这是矩阵加法与逆的不同之处。
4. 线性相关与线性无关：如果一个向量组中的任意向量都可以由其他向量线性表示，那么这个向量组是线性相关的。相反，如果不存在这样的表示，则为线性无关。题目中讨论了向量组的秩和线性相关性。
5. 正交矩阵：正交矩阵的行（列）向量是正交的，并且其转置等于其逆。题目要求识别哪个矩阵是正交矩阵，这需要了解正交矩阵的定义和性质。
6. 二次型：二次型可以通过矩阵表示，其性质与该矩阵的特征值有关。正定、负定和半正定二次型分别对应着对角化后所有特征值都为正、全为负或仅非负的情况。
7. 特征值与特征向量：矩阵的特征值是满足Aξ=λξ的标量λ，而ξ是相应的特征向量。求解特征值和特征向量对于理解和分类矩阵至关重要。
8. 解的结构：结构解是线性方程组的一类特殊解，通常出现在齐次线性方程组中，其形式为线性组合。
9. 二次型的标准型：通过正交变换，可以将二次型化为对角形式，这样可以更直观地分析其性质。
10. 矩阵的运算：矩阵乘法、转置、逆以及与单位矩阵的关系在多项选择题中都有体现，例如计算AB的转置、求解矩阵的逆等。
试题还包含了填空题和计算题，要求学生进行具体的矩阵运算，如行列式的计算、矩阵乘法、秩的确定以及特征值和特征向量的求解等。证明题部分则考察了向量组线性无关性的证明，这通常需要使用线性组合和线性独立的定义。
这份试题全面测试了学生对线性代数基本概念、方法和技巧的掌握程度，是检验学习成果和巩固理论知识的良好工具。
