线性代数（同济大学四版）习题答案

### 线性代数（同济大学四版）习题答案分析 #### 第一章：行列式 在这一章节中，主要介绍了行列式的概念、性质以及如何计算行列式等内容。下面将根据提供的习题答案内容，详细解析几个重要的知识点。 ### 1. 行列式的计算方法 #### 例题解析 **例题1.1** 计算三阶行列式： \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & -1 \\ -1 & 8 & 3 \end{vmatrix} \] **解答：** 利用行列式的对角线法则进行计算。 \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & -1 \\ -1 & 8 & 3 \end{vmatrix} = 2 \times (-4) \times 3 + 0 \times (-1) \times (-1) + 1 \times 1 \times 8 - 0 \times 1 \times 3 - 2 \times (-1) \times 8 - 1 \times (-4) \times (-1) \] \[ = -24 + 8 + 16 - 4 = -4 \] **例题1.2** 计算三阶行列式： \[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} \] **解答：** 使用行列式的定义进行计算。 \[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = abc + bac + cba - bbb - aaa - ccc = 3abc - a^3 - b^3 - c^3 \] **例题1.3** 计算三阶行列式： \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \] **解答：** 同样使用行列式的定义进行计算。 \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = bc^2 + ca^2 + ab^2 - ac^2 - ba^2 - cb^2 = (a-b)(b-c)(c-a) \] **例题1.4** 计算三阶行列式： \[ \begin{vmatrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{vmatrix} \] **解答：** 使用行列式的定义进行计算。 \[ \begin{vmatrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{vmatrix} = x(x+y)y + yx(x+y) + (x+y)yx - y^3 - (x+y)^3 - x^3 \] \[ = 3xy(x+y) - y^3 - 3x^2y - 3y^2x - x^3 - y^3 - x^3 = -2(x^3 + y^3) \] ### 2. 排列的逆序数 #### 定义与计算 **例题2.1** 求下列排列的逆序数： (1) 1234 (2) 4132 (3) 3421 (4) 2413 (5) 13…(2n-1)24…(2n) (6) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 **解答：** (1) 逆序数为0，因为该排列本身就是自然数从小到大的顺序。 (2) 逆序数为4：41, 43, 42, 32 (3) 逆序数为5：32, 31, 42, 41, 21 (4) 逆序数为3：21, 41, 43 (5) 逆序数为 \(n(n-1)/2\)，具体计算方式是将排列分解为多个子序列，并计算每个子序列内的逆序数之和。 (6) 逆序数为 \(n(n-1)\)，同样通过分解为多个子序列并计算逆序数来获得。 ### 3. 四阶行列式中含有因子a11a23的项 #### 解析 对于四阶行列式，其一般形式为： \[ (-1)^t a_{1p_1} a_{2p_2} a_{3p_3} a_{4p_4} \] 其中，\(t\) 为排列 \(p_1 p_2 p_3 p_4\) 的逆序数。 **例题3.1** 写出四阶行列式中含有因子 \(a_{11}a_{23}\) 的项。 **解答：** 由于 \(p_1=1, p_2=3\) 已经固定，因此 \(p_1 p_2 p_3 p_4\) 只能形如 13□□，即 1324 或 1342。对应的逆序数 \(t\) 分别为： - 对于 1324，逆序数 \(t = 0 + 0 + 1 + 0 = 1\) - 对于 1342，逆序数 \(t = 0 + 0 + 0 + 2 = 2\) 所以，含有因子 \(a_{11}a_{23}\) 的项为： - \((-1)^1 a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}\) - \((-1)^2 a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}\) ### 4. 计算特殊行列式 #### 例题4.1 计算五阶行列式： \[ \begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 10 & 5 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 7 \end{vmatrix} \] **解答：** 此题中的行列式实际为五阶行列式的一部分，但由于给出的信息不完整，无法直接计算。这里可以通过行列式的性质进行简化或者通过其他方法求解。 以上就是根据《线性代数（同济大学四版）》中的部分习题及其解答，详细解析的相关知识点。这些例题涵盖了行列式的计算、排列的逆序数以及特殊行列式的求解等方面，有助于加深对线性代数中行列式这一重要概念的理解。