### 同济大学线性代数答案详解
#### 第一部分：线性方程组求解
**题目描述：**
给出矩阵 \(A\) 和向量 \(b\)，求解线性方程组 \(Ax = b\)。
**具体信息：**
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 3 & -1 \\
1 & -1 & 1 & 4
\end{pmatrix}, \quad
b=\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
5
\end{pmatrix}
\]
**方程组：**
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1,\\
2x_1 + x_2 + 3x_3 - x_4 = 3,\\
x_1 - x_2 + x_3 + 4x_4 = 5.
\end{cases}
\]
**知识点：**
1. **增广矩阵与高斯消元法**：解决线性方程组的一种基本方法是通过构建增广矩阵并进行高斯消元来求解。
2. **线性方程组的解的性质**：根据系数矩阵的秩与增广矩阵的秩，可以判断方程组有无解以及解的情况（唯一解、无穷多解或无解）。
#### 第二部分：线性方程组的另一种形式
**题目描述：**
给出一个线性方程组，并求解未知数 \(x, y, a, b\) 的值。
**具体信息：**
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3 & -1 & 3 \\
1 & -1 & 1 & 4 & 5
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{cases}
1 + x = 3,\\
2 + y = -4,\\
a + 3 = 7,\\
b + 4 = 1.
\end{cases}
\]
解得 \(x = 2, y = -6, a = 4, b = -3\)。
**知识点：**
1. **高斯-约旦消元法**：在求解线性方程组时，通过高斯-约旦消元法可以将增广矩阵化为行简化阶梯形，从而直接读出方程组的解。
2. **方程组的几何解释**：线性方程组可以视为多个平面在空间中的交集问题，理解这些平面的相对位置有助于直观地理解解的存在性和唯一性。
#### 第三部分：矩阵的运算
**题目描述：**
给定了两个矩阵 \(A\) 和 \(B\)，分别计算 \(A + 2B\)，\(3A - B\)，\(AB^T\) 和 \(A^TB\)。
**具体信息：**
\[
A=\begin{pmatrix}
3 & -1 & 2 \\
2 & 1 & -2
\end{pmatrix}, \quad
B=\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
5 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\]
**知识点：**
1. **矩阵加减法**：对于同型矩阵 \(A\) 和 \(B\)，其加减运算遵循元素对应相加减的原则。
2. **矩阵乘法**：
- **矩阵与矩阵相乘**：矩阵 \(A\) 与 \(B\) 相乘得到 \(C\)，其中 \(C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}\)。
- **转置矩阵**：矩阵 \(A\) 的转置 \(A^T\) 是将 \(A\) 的行变为列，列变为行得到的新矩阵。
3. **矩阵乘法的性质**：矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律，即 \(A(BC) = (AB)C\)；且对于任意矩阵 \(A\)，有 \(A I = IA = A\)，其中 \(I\) 是单位矩阵。
#### 第四部分：矩阵的组合运算
**题目描述：**
给定了两个矩阵 \(A\) 和 \(B\)，计算 \((A + B)(A - B)\)。
**具体信息：**
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & -3 \\
1 & 2
\end{pmatrix}, \quad
B=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
3 & -1
\end{pmatrix}
\]
**知识点：**
1. **矩阵的加减运算**：两个同型矩阵的加减运算遵循元素对应相加减的原则。
2. **矩阵乘法的分配律**：矩阵乘法满足分配律，即 \(A(B + C) = AB + AC\) 以及 \((A + B)C = AC + BC\)。
3. **矩阵乘法的性质**：矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律，即 \(A(BC) = (AB)C\)。
#### 第五部分：矩阵幂与线性组合
**题目描述：**
给定矩阵 \(A\) 和 \(B\)，计算 \(A^2 + 3A - 2B\)。
**具体信息：**
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}, \quad
B=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 5 \\
0 & 5 & 2
\end{pmatrix}
\]
**知识点：**
1. **矩阵的幂运算**：矩阵 \(A\) 的幂 \(A^n\) 表示 \(A\) 与自身相乘 \(n\) 次的结果。
2. **线性组合**：给定矩阵 \(A\) 和 \(B\) 以及标量 \(a\) 和 \(b\)，则 \(aA + bB\) 称为 \(A\) 和 \(B\) 的线性组合。
3. **矩阵乘法的性质**：矩阵乘法满足结合律和分配律。
#### 第六部分：向量与矩阵的乘法
**题目描述：**
给定向量与矩阵，计算向量与矩阵的乘积。
**具体信息：**
1. 计算向量 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) 与矩阵 \(\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}\) 的乘积。
2. 计算向量 \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) 与矩阵 \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\) 的乘积。
3. 给定矩阵 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)，计算向量 \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) 与该矩阵的乘积。
4. 计算矩阵 \(A = I + B\) 的 \(n\) 次幂，其中 \(B\) 为特定矩阵。
**知识点：**
1. **向量与矩阵的乘法**：向量与矩阵的乘法遵循特定规则，结果是一个新的向量。
2. **矩阵的幂运算**：矩阵 \(A\) 的幂 \(A^n\) 表示 \(A\) 与自身相乘 \(n\) 次的结果。
3. **单位矩阵与幂运算**：单位矩阵 \(I\) 在矩阵乘法中起着类似于数字1的作用，即任何矩阵与单位矩阵相乘都等于原矩阵本身。
#### 第七部分：矩阵的相合性
**题目描述：**
给定矩阵 \(A\) 和 \(B\)，验证 \(AB = BA\) 是否成立。
**具体信息：**
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}, \quad
B=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\]
**知识点：**
1. **矩阵乘法的性质**：矩阵乘法一般不满足交换律，但在某些特殊情况下，两个矩阵的乘积是可交换的。
2. **矩阵乘法的相合性**：如果矩阵 \(A\) 和 \(B\) 满足 \(AB = BA\)，则称这两个矩阵是相合的。
本篇内容涉及了线性代数中的多个核心概念和技术，包括线性方程组的求解、矩阵的基本运算、矩阵乘法及其性质等。通过对这些知识点的学习，不仅可以帮助读者更好地理解线性代数的基础理论，还能为后续深入学习提供坚实的数学基础。
