同济大学 线性代数 习题详解

### 同济大学线性代数习题详解 #### 行列式的概念与计算方法 在《同济大学线性代数》教材中，第一章主要讲述了行列式的基础知识及其计算方法。行列式是线性代数中的一个重要概念，用于解决线性方程组等问题，在后续章节中将频繁出现。下面我们将通过具体的习题来深入了解行列式的概念以及其计算方法。 #### 第一章：行列式 ##### 习题解析 **例1：** 利用对角线法则计算下列三阶行列式： 1. \(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & -1 \\ -1 & 8 & 3 \end{vmatrix}\) 2. \(\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}\) 3. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}\) 4. \(\begin{vmatrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{vmatrix}\) **解答：** 1. 对于第一题，根据三阶行列式的计算公式（对角线法则），我们有： \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & -1 \\ -1 & 8 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-4) \cdot 3 + 0 \cdot (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 8 - 0 \cdot 1 \cdot 3 - 2 \cdot (-1) \cdot 8 - 1 \cdot (-4) \cdot (-1) = -4 \] 2. 对于第二题，可以通过展开计算得到结果： \[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = abc + bac + cba - bbb - aaa - ccc = 3abc - a^3 - b^3 - c^3 \] 3. 对于第三题，该行列式是Vandermonde行列式的一个特例，其结果可以通过直接计算得出： \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (a - b)(b - c)(c - a) \] 4. 最后一个行列式可以通过展开计算得到： \[ \begin{vmatrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{vmatrix} = x(x+y)y + yx(x+y) + (x+y)yx - y^3 - (x+y)^3 - x^3 = -2(x^3 + y^3) \] **例2：** 按自然数从小到大的顺序，求下列各排列的逆序数： 1. \(1234\) 2. \(4132\) 3. \(3421\) 4. \(2413\) 5. \(13\ldots(2n-1)24\ldots(2n)\) 6. \(13\ldots(2n-1)(2n)(2n-2)\ldots2\) **解答：** 1. 排列\(1234\)没有逆序，因此逆序数为\(0\)。 2. 排列\(4132\)的逆序数为\(4\)：\(41, 43, 42, 32\)。 3. 排列\(3421\)的逆序数为\(5\)：\(32, 31, 42, 41, 21\)。 4. 排列\(2413\)的逆序数为\(3\)：\(21, 41, 43\)。 5. 排列\(13\ldots(2n-1)24\ldots(2n)\)的逆序数为\(\frac{n(n-1)}{2}\)。这是因为对于每个奇数项\(2k-1\)，它都比后面所有偶数项大，共有\(\frac{n(n-1)}{2}\)对逆序。 6. 排列\(13\ldots(2n-1)(2n)(2n-2)\ldots2\)的逆序数为\(n(n-1)\)。这是因为除了最后一位外，每一项都比后面所有较小的偶数项大。 **例3：** 写出四阶行列式中含有因子\(a_{11}a_{23}\)的项。 **解答：** 在四阶行列式中，含有因子\(a_{11}a_{23}\)意味着第1行第1列的元素和第2行第3列的元素被选定。根据行列式的定义，需要确定剩下的两个位置，即\(p_3\)和\(p_4\)。考虑到\(p_1 = 1\)且\(p_2 = 3\)已经固定，剩下两列的排列只有两种可能：\((2, 4)\)或\((4, 2)\)。因此，对应的逆序数\(t\)分别为\(1\)和\(2\)。所以，四阶行列式中含有因子\(a_{11}a_{23}\)的项为\(-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}\)和\(a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}\)。 **例4：** 计算下列各行列式： 1. \(\begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 10 & 5 & 2 & 0 \\ 7 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}\) 2. \(\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 0 \\ 6 & 2 & 2 & 6 \end{vmatrix}\) 3. \(\begin{vmatrix} -ab & ac & ae \\ bd & -cd & de \\ bf & cf & -ef \end{vmatrix}\) 4. \(\begin{vmatrix} a & 1 & 0 & 0 \\ -1 & b & 1 & 0 \\ -1 & c & 1 & 0 \\ -1 & d & 0 & 1 \end{vmatrix}\) 这些习题不仅加深了学生对于行列式计算的理解，而且为之后的学习打下了坚实的基础。通过练习这类题目，学生可以更好地掌握行列式的性质及其应用。