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线性代数

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线性代数（同四版）习题答案 A123.pdf 611KB

线性代数 (同济四版) 习题参考答案

黄正华

Email: huangzh@whu.edu.cn

武汉大学数学与统计学院, 湖北武汉 430072

Wuhan University

第一章行列式 1

第二章矩阵及其运算 17

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 33

第四章向量组的线性相关性 48

第五章相似矩阵及二次型 69

第一章行列式

课后的习题值得我们仔细研读. 本章建议重点看以下习题: 5.(2), (5); 7; 8.(2). (这几个题号建立有超级链接.) 若

您发现有好的解法, 请不吝告知.

1 . 利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1)

2 0 1

1 −4 −1

−1 8 3

; (2)

a b c

b c a

c a b

;

(3)

1 1 1

a b c

; (4)

x y x + y

y x + y x

x + y x y

解: (1)

2 0 1

1 −4 −1

−1 8 3

= 2 × (−4) × 3 + 0 × (−1) × (−1) + 1 × 1 × 8 − 0 × 1 × 3 − 2 × (−1) × 8 − 1 × (−4) × (−1)

= −24 + 8 + 16 − 4

= −4.

(2)

a b c

b c a

c a b

= acb + bac + cba − bbb − aaa − ccc = 3abc − a

− b

− c

(3)

1 1 1

a b c

= bc

+ ca

+ ab

− ac

− ba

− cb

= (a − b)(b − c)(c − a).

(4)

x y x + y

y x + y x

x + y x y

= x(x + y)y + yx(x + y) + (x + y)yx − y

− (x + y)

− x

= 3xy(x + y) − y

− 3x

y −3y

x − x

− y

− x

= −2(x

+ y

2 . 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:

(1) 1 2 3 4; (2) 4 1 3 2;

(3) 3 4 2 1; (4) 2 4 1 3;

(5) 1 3 ···(2n − 1) 2 4 ···(2n);

(6) 1 3 ···(2n − 1) (2n) (2n − 2) ···2.

解

(1) 逆序数为 0.

(2) 逆序数为 4: 4 1, 4 3, 4 2, 3 2.

2 第一章行列式

(3) 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.

(4) 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3.

(5) 逆序数为

n(n−1)

3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 个

5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个

7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n −1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n −1) 个

(6) 逆序数为 n(n − 1):

3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 个

5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个

7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n −1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n −1) 个

4 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 个

6 2, 6 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2n) 2, (2n) 4, (2n) 6, . . . , (2n) (2n − 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (n −1) 个

3 . 写出四阶行列式中含有因子 a

的项.

解: 由定义知, 四阶行列式的一般项为

(−1)

其中 t 为 p

的逆序数．

由于 p

= 1, p

= 3 已固定, p

只能形如 13¤¤, 即 1324 或 1342. 对应的逆序数 t 分别为

0 + 0 + 1 + 0 = 1, 或 0 + 0 + 0 + 2 = 2.

所以, −a

和 a

为所求.

4 . 计算下列各行列式:

(1)

4 1 2 4

1 2 0 2

10 5 2 0

0 1 1 7

; (2)

2 1 4 1

3 −1 2 1

1 2 3 2

5 0 6 2

;

(3)

−ab ac ae

bd −cd de

bf cf −ef

; (4)

a 1 0 0

−1 b 1 0

0 −1 c 1

0 0 −1 d

解: (1)

4 1 2 4

1 2 0 2

10 5 2 0

0 1 1 7

↔r

====== −

1 2 0 2

4 1 2 4

10 5 2 0

0 1 1 7

−4r

=======

−10r

−

1 2 0 2

0 −7 2 −4

0 −15 2 −20

0 1 1 7

线性代数 (同济四版) 习题参考答案 3

↔r

======

1 2 0 2

0 1 1 7

0 −15 2 −20

0 −7 2 −4

+7r

=======

+15r

1 2 0 2

0 1 1 7

0 0 17 85

0 0 9 45

= 17 × 9

1 2 0 2

0 1 1 7

0 0 1 5

= 0.

(2)

2 1 4 1

3 −1 2 1

1 2 3 2

5 0 6 2

−c

=====

2 1 4 0

3 −1 2 2

1 2 3 0

5 0 6 2

−r

=====

2 1 4 0

3 −1 2 2

1 2 3 0

2 1 4 0

−r

=====

2 1 4 0

3 −1 2 2

1 2 3 0

0 0 0 0

= 0.

(3)

−ab ac ae

bd −cd de

bf cf −ef

= adf

−b c e

b −c e

b c −e

= adfbce

−1 1 1

1 −1 1

1 1 −1

=====

adfbce

−1 1 1

0 0 2

0 2 0

= −adfbce

0 2

2 0

= 4abcdef.

(4)

a 1 0 0

−1 b 1 0

0 −1 c 1

0 0 −1 d

+ar

======

0 1 + ab a 0

−1 b 1 0

0 −1 c 1

0 0 −1 d

按第 1 列

========

展开

(−1)(−1)

2+1

1 + ab a 0

−1 c 1

0 −1 d

+dc

======

1 + ab a ad

−1 c 1 + cd

0 −1 0

按第 3 行

========

展开

(−1)(−1)

3+2

1 + ab ad

−1 1 + cd

= abcd + ab + cd + ad + 1.

5 . 证明:

(1)

ab b

2a a + b 2b

1 1 1

= (a − b)

;

证明

ab b

2a a + b 2b

1 1 1

−c

=====

−c

ab − a

− a

2a b − a 2b − 2a

1 0 0

=(−1)

3+1

ab − a

− a

b − a 2b − 2a

= (b − a)(b − a)

a b + a

1 2

= (a − b)

(2)

ax + by ay + bz az + bx

ay + bz az + bx ax + by

az + bx ax + by ay + bz

= (a

+ b

)

x y z

y z x

z x y

;

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