线性代数\线性代数(同济第五版)习题答案

根据给定文件中的内容，我们可以总结出以下几个关键知识点： ### 一、行列式的计算方法 #### 1. 对角线法则 对于三阶行列式，可以通过对角线法则来简化计算过程。具体步骤如下： - 正对角线：左上至右下的元素相乘再相加； - 负对角线：左下至右上的元素相乘再相加； - 结果为正对角线之和减去负对角线之和。 **例题解析**： - **例1**：计算行列式 \(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & -1 \\ -1 & 8 & 3 \end{vmatrix}\) - 正对角线：\(2 \times (-4) \times 3 = -24\) - 负对角线：\(0 \times (-1) \times (-1) + 1 \times 1 \times 8 = 8 + 16 = 24\) - 结果：\(-24 + 24 - 4 = -4\) - **例2**：计算行列式 \(\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}\) - 正对角线：\(a \times c \times b + b \times a \times c + c \times b \times a = 3abc\) - 负对角线：\(b \times b \times b + a \times a \times a + c \times c \times c = a^3 + b^3 + c^3\) - 结果：\(3abc - (a^3 + b^3 + c^3)\) - **例3**：计算行列式 \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}\) - 正对角线：\(bc^2 + ca^2 + ab^2\) - 负对角线：\(ac^2 + ba^2 + cb^2\) - 结果：\(bc^2 + ca^2 + ab^2 - (ac^2 + ba^2 + cb^2) = (a-b)(b-c)(c-a)\) - **例4**：计算行列式 \(\begin{vmatrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{vmatrix}\) - 正对角线：\(x(x+y)y + yx(x+y) + (x+y)yx\) - 负对角线：\(y^3 + (x+y)^3 + x^3\) - 结果：\(3xy(x+y) - (y^3 + 3x^2y + 3y^2x + x^3 + y^3 + x^3) = -2(x^3 + y^3)\) #### 2. 逆序数的概念 逆序数是衡量一个排列相对于自然顺序的“混乱程度”的指标，对于一个排列 \(\sigma\)，如果存在 \(i < j\) 使得 \(\sigma(i) > \sigma(j)\)，则称这一对元素形成一个逆序。 **例题解析**： - **例1**：计算排列 1234 的逆序数 - 排列 1234 相对于自然顺序没有逆序，逆序数为 0。 - **例2**：计算排列 4132 的逆序数 - 形成逆序的对有：(4,1)、(4,3)、(4,2) 和 (3,2)，共 4 个逆序。 - **例3**：计算排列 3421 的逆序数 - 形成逆序的对有：(3,2)、(3,1)、(4,2)、(4,1) 和 (2,1)，共 5 个逆序。 ### 二、行列式的性质 #### 1. 四阶行列式的特定项提取 对于四阶行列式，如果需要提取含有特定因子（例如 \(a_{11}a_{23}\)）的项，则可以通过分析排列的逆序数来确定。 **例题解析**： - 提取四阶行列式中含有因子 \(a_{11}a_{23}\) 的项 - 已知 \(p_1 = 1\)，\(p_2 = 3\)，因此排列只能形如 13□□，即 1324 或 1342。 - 对应的逆序数 t 分别为 1 和 2。 - 所求项为 \(-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}\) 和 \(a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}\)。 #### 2. 行列式的计算技巧 对于特定形式的行列式，可以通过行（列）变换等技巧来简化计算。 **例题解析**： - **例1**：计算行列式 \(\begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 10 & 5 & 2 & 0 \\ 1 & 7 & 0 & 1 \end{vmatrix}\) - 可以通过行（列）变换来简化计算过程。 - **例2**：计算行列式 \(\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 5 \\ 6 & 2 & 0 & 6 \end{vmatrix}\) - 同样可以考虑通过行（列）变换简化计算。 - **例3**：计算行列式 \(\begin{vmatrix} -ab & ac & ae \\ bd & -cd & de \\ bf & cf & -ef \end{vmatrix}\) - 该行列式可以通过展开定理来计算。 - **例4**：计算行列式 \(\begin{vmatrix} a & 1 & 0 & 0 \\ -1 & b & 1 & 0 \\ 0 & -1 & c & 1 \\ 0 & 0 & -1 & d \end{vmatrix}\) - 可以考虑将第一行（列）进行展开来简化计算。 通过以上解析，我们可以看到，线性代数中的行列式计算不仅涉及基本的计算规则，还需要掌握一定的技巧和方法来简化计算过程，这对于理解和解决实际问题非常有用。