微积分和数学分析

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微积分和数学分析(柯郎),带有书签,高清
示) 许多同事和朋友对本书都曾给予帮助.A.A.布兰克(Bank) 不但提出过许多尖锐而富有建设性的批评,并且在整理、增加和精 选间题和练习时也起了重要作用,此外,他还承担了编写附加部分 的主要任务。在本书各方面的准备工作中,A.斯洛萦( Slomon)曾 给予大量的无私甭有效的帮助。还要感谢C.约翰(Jhn),A.拉 克斯(Lax),R.理奇特米厄( Richtmyer),以及其他朋友,包括詹 姆斯和V.麦克沙恩 第一卷主要论及单变量函数,而第二卷将讨论多变量函数的 微积分的各分支理论 最后有一点请学生读者注意要想一页一页地、亳不费力地学 习这样一本书来精通这一学科,可能遭到失败.只有首先选择 捷径再反复地回采钻册同样一些间题和难点,才能从更的观 点得到较深刻的解 有些度落读者在第一次学习时可能会遇到障碍,我们均用星 号标出以示提醒.还有些比较困难的问题,也加上星号予以指明。 我们希望目前这本新的著作,对于年轻的一代科学家将有所 助益.我们深知本书有许多不足之处,因此,诚恳地欢迎批评指 正。这对于本书今后的修订会有好处 R 柯朗,F约翰 1965年6月 )这部分内容,由A.A.布兰克写成单行本《 Problem in Calculus and analysis》 出版,一一译者注 111 微积分和数学分析引论 第一卷第二分册 R.柯朗F.约翰著 刘嘉善戴中维等译 冷生明张順燕校 》85 “F 1982 幻小:::四<:::v;N::w:wwx:3 目 录 第一章引言 11实数连续统 ··P阜·····自·自●·自·pψ■●●◆●鲁鲁自D◆◆ a.自然数系及其护充。计数和度量(2)b.实数和区间套(7)c 十进小数。其{进位制(9)d.邻域的定义(13)e.不等式 I3 1.2函数的概念 a,映射一图形(20)b.连裂变量的函数概念的定义.函数的 定义域和值域(23)c.函数的图形表示。单调函数(26)d连 续性(31)e.中间值定理。反函数(46) 1.3初等函数 ∴……49 有理函数(49)b.代数函数(50)c.三角函数(51)d.指数函数 和对数函数(52)e.复合函数。符号积。反函数(54) 14序列 57 15数学归纳法……………………………………58 16序列的极限………………63 a、an=-(63)b.n2 64 2n3 十 (65)d,a=√(66)e.an=a(67)£.w和的极 限之几何解释(68)g,几何级数(70)h,an=√n(72)i #+1 72)j ,其中a>1(73) 17再论极限概念 ●■·◆·合自◆》····pp■目自自ptbp 73 a.收敛和发散的定义(73)b.极限的有理运算(75)c.内在的 收敛判别法。单调序列(76)d.芜穷级数及求和符号(78)e.数 e(81)f.作为极限的数x(84) 8连续变量的函数的极限概念 85 a,初等函数的一些注记(90) 补篇 會◆·日··曾》··自··看·命命D 92 S1极限和数的概念 93 a.有理数(94)b,有理区间套序列定义实数(95)c,实数的顺 序、极限和算术运算(97)d.实数连续统的完备性.闭区间的紧 致性.收敛判别法则(100)c.最小上界和最大下界(103)f.有 理数的可数性(104) S2关于连续函数的定理 ▲··▲■◆画自合·4自·咖■』·,·p自·4命 105 S3极坐标 ·◆··■◆·■4鲁看p ……108 s4关于复数的注记 ■血自 I09 问题 I12 第二章积分学和微分学的基本概念………………127 21积分 q■●會·■■·p·■■····■··■·■●·ψ4■↓·自p『鲁p卩↓t·日p鲁Pb 128 a.引言(128)b.作为面积的积分(129)c,积分的分析定义 表示法(131) 22积分的初等实例 136 a,线性函数的积分(136)b.x2的积分(138)c.x的积分x是 不等于-1的整数)(139)d.z的积分(c是不等于一1的有理 数)(142)e.sinx和cosx的积分(143) 23积分的基本法则 145 a.可加性(145)b.函数之和的积分,函数与常数乘积的积分 (146)≤.积分的估值(148)d.积分学中值定理(149) 24作为上限之函数的积分—不定积分…………152 25用积分定义对数………………154 a.对数函数的定义(154)b.对数的加法定理(156) 26指数函数和幂函数… …………159 a.数的对数(159)b.对数函数的反函数。抬数函数(160)c 作为幂的极限的指数函数(162)d.正数的任意次幂的定义(162) e.任何数为底的对数(163) 27x的任意次幂的积分… p口●·ρD·p■ 164 28导数 ■●聊■■ q;·『ψ···■qq·■■自◆·罪●自●■司·····』自● 165 a.导数与切线(16)b.作为速度的导数(172)c.微分法举例 (174)d.一些基本的微分法则(176)c.函数的可微性和连续 性(17).高阶导数及其意义(I80)g.导数和差商。莱布尼兹 表示法(182)h.微分学中值定理(184)i.定理的证明(186) .函数的线性近似.微分的定义(190)k.关于在自然科学中的 应用的一点评述(195) 29积分、原函数和微积分基本定理…196 a.不定积分的导数(196)b.原函数及其与积分的关系(198) c,用原函数计算定积分(201)d.例(202) 补篇连续函数的定积分的存在性…… 争·■普·『自◆D鲁 204 问题………………………207 第三章微分法和积分法 自晋昏看西■番p鲁4◆;中·◆4鲁血盘 …214 第一部分初等函数的微分和积分…… ·214 31最简单的微分法则及其应用 ……214 a.微分法则(214)b.有理函数的微分法(217)c.三角函数的 微分法(218) 32反函数的导数 ··s···4e4··d·。p···p·●·······.····· 219 a.一般公式(219)b.n次幂的反函数:n次根(222)c.反三 角函数——多值性(224)d.和应的积分公式(228)c,指数函 数的导数与积分(230) 33复合函数的微分法 ………………230 a.定义(230)b.链式法则(231)c,)义微分学中值定理235) 34指数函数的某些应用 ………………236 a.月微分方程定义指数函数(237)b.连续复利。放射性蜕变 (237)c,物体被周围介质冷却或加热(239)d.大气压随地面上 的高度的变化(239)c.化学反应过程(241)f.电路的接通或切 断(241) 35双曲函数 ···◆自··■q▲··◆···■自■·鲁·↓■·●·φφ·●···●备·●Dψ·●命◆·p 242 神增 盘.分析的定义(242)b,加法定理和微分公式(245)c,反双曲函 数(246)d,与三角函数的其他相似性(248) 36最大值和最小值问题………………………250 a.曲线的下凸和上凸(250)b,最大值和最小值—极值问题 平稳点(252) 37函数的量阶………………263 a·量阶的概念,最简单的情形(263)b.指数函数与对数函数的 量阶(264)c.一点注记(267)d在一点的邻域内函数的量阶 (267)c.函数趋向于零的量阶(268)f,量阶的“0”和“o”表示 269 附录 争·日■"···◆···會·◆◆4旾。·自··φψ↓bD···◆●●◆D··●●哥◆·『◆■辛··看··音·自·着· 271 A1一些特殊的函数 ■·鲁qψ■■■曹ψ■···啁■曾■·■個■譚凸;●ψ·b;■■山自自 272 a.函数y=e“(272)b.函数y=c"(273)c.函数y=tanh (274)d.函数y=xanh1(25)c.函数y=xin3,y(0) 0(275) A2关于函数可微性的注记………………276 第二部分积分法 孴會自■●曲看自會鲁口_·看口d 278 38初等积分表………………………280 39换元法… 噜·◆·會自曾■■·■。儇◆申·■■■ψ目p·bDD·p4 ………281 盘.换元公式。复合函数的积分(281)b.换元公式的另一种推导 方法(286)c.例.积分公式(287) 310换元法的其他实例 ··毒··↓ 288 3l分部积分法 ∴…………292 a.一般公式(292)b分部积分的其他例子(294)c.关于f(b) +f(a)的积分公式(296)d.递推公式(296)e.z的瓦里斯 ( Wallis)无穷乘积(298) 312有理函数的积分法 ·300 a.基本类型(301)b.基本类型的积分(303)c.部分分式(304) d.分解成部分分式举例。待定系数法(307) 33其他几类函数的积分法 ……310 vL· a.因和双曲线的有理表示法初阶(310)b。R(osr,sinx)的积分法 (312)c.R( cosh r, sinh x)的积分法(314)d.R(x,√1-x)的 积分法(314)ε.R(x,x2-1)的积分法(314)f,R(x √/x2+1)的积分法(315)g.R(x,vax2+2bx+c)的积分法 (315)h,化为有理函数积分的其他例子316)i.注记(317 第三部分积分学的进一步发展………………318 3.14初等函数的积分…………………318 a.用积分定义的函数.椭圆积分和椭圆函数(318)b,关于微分 和积分(321) 315积分概念的推广 321 a.引言,广义积分的定义(321)b.无穷间断的函数(323)c 作为面积的解释(325)d.收敛判别法(325)c.无穷区间上的 积分(327)f.伽玛函数(329)g.狄里克莱( Dirichlet)积分(330) 变量置换。非涅耳( Fresnel)积分(332) 316三角函数的微分方程 鼻···ψ··自●會4●婚香辛●ψ …333 a,关于微分方程的初步说明(333)b.白微分方程和初始条件定 义的sinx和cosx(334) 问题 336 ::兴你罚 录 第四章在物理和几何中的应用 ……(349) 41平面曲线理论 ··“···a‘· ·■d4◆··.4····●4···b自◆·◆p (349) a,参数表示(349)b,参数变换(351)c.沿曲线的运动。时 间作为参量.摆线的例了(352).d.由线的分类。定向(357) e.导数。切线和法线的参数表示(367).曲线的长度(371) g弧长作为参数(376)h曲率(378)i·坐标轴变换。不变量 (384)j狭义相对论中的匀速运动(386)k.表示闭曲线内部 面积的积分(389)1.质量中心和曲线的矩(39)m.旋转曲 面的面积和体积(398)n·惯性矩(399) 4.2 (00) a,普通摆线(40)b·悬链线(402)c·椭圆和双纽线(402) 43二维向量 …(403) a.用平移定义向量.记号(404)b向量的加法和乘法(08) c.变向量及其导数和积分(416)d,对平面曲线的应用.方 向,速度和加速度(417 44在给定力作用下质点的运动………………(420) a,牛顿运动定律(421)b落体运动(42)c约束在给定曲线上 的质点的运动423 45受到空气阻力的自由落体运动 …(426) 4.6最简单的一类弹性振动—弹簧的运动 …(428) 47在给定曲线上的运动 (429) a:微分方程和它的解(429)b,沿一曲线下滑的质点(431)c 运动的讨论(33)d,普通摆(434)e.因滚摆(435) 48引力场中的运动 …………(437) 牛顿万有引力定律(43)b,绕引力中心的圆运动(438) c.径向运动—逃逸速度(440) 4.9功和能 b●D●4口◆◆會● ●DP●@◆·音P申 ■『■■鲁··●忌咖身 (442)

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试读 127P 微积分和数学分析
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