工科数学分析

所需积分/C币:50 2018-03-21 23:07:59 7.78MB PDF
收藏 收藏 4
举报

工科数学分析学习指导与习题详解-工科数学分析,哈工大
f(r) g 图1.1 若在上述定义中,X与Y都是数的集合,则称f为从X到Y的函数,这便是我们在中学 所熟悉的函数的定义;在复合的情况下,便是复合函数的定义 对映射∫:X→Y,当∫(X)=Y时,称f是由X到Y上的映射或满射;如果对X中所有不 同的两元素x1、r2,均有f(x1)≠f(x2),则称∫为单射;如果f是满射又是单射,则称f为Ⅹ 到Y上的一一对应(图1.2),也称X与Y一一对应。 a)单射 (b)满射 (c)A到}上的一一对应 图1.2 在单射的情况下,由f可导出一个从f(x)到X的映射称为∫的逆映射,记为f即若 =f(x),则x=fl(y)。若f是一函数,则f便是其反函数 1.1.2实数系 以数为元素的集合称为数集。 我们约定;自然数是指正整数。自然数的集合记为N。整数是指正整数、负整数和零整数 的集合记为Z。有理数是一切形如的数,其中P∈Z,q∈N,P与q互素。有理数集记为Q。实 数是有理数和无理数(无限不循环小数)的统称。实数集又称为实数系,记为R 如无特殊指明,本书所有的数都是实数。 取定了原点、长度单位和方向的直线称为数直线或数轴每一个实数在数轴上有惟一的 点与之对应。反过来,每个数轴上的点代表了惟一的一个实数这种对应关系,就有理数来讲 在数轴上很容易建立相应的对应点(有理点);随着对实数理论的逐步阐述,读者会对无理数的 对应含义有深入的理解。 今后,我们对实数和数轴上的点不加区别 实数集区别于许多其它集合的一个显著特点是有序性:任意两个相异的实数a,b都可以 比较大小,a<b或a>b;在数轴上,a位于b的左侧或右侧。 设a,b∈R,a<b。下述集合是今后经常用到的。 开区间:(a,b)={x:a<r<b} 闭区间:a,b]={x:a≤x≤b} 半无穷区间:(a,∞)={x:x>a} (-∞,b)={x:z<b} (-∞,b={x:x≤b 类似地,还有a,b),(a,b及(一∞,+∞)。 设δ>0,称开区间(x0-8,x0+8)={x:|x-x,|<δ为点x的δ-邻域,记为U(xo,0),它 是以x0为中心、长为28的开区间(图1.3)。有时,我们不关心δ的大小,常用“邻域”或“x附 近”代替x的δ-邻域,记为U(xo) 6 x0+6 图1.3 称集合(x0-8,x0∪(x,x+0)={x:0<|x-x0|<8}为x0的去心δ-邻域,记为 L7(xo,8) 我们知道,有理数的和差、积、商仍为有理数(当然0不准用作除数),从而使Q在R中碉 密:任意的x∈R及任意的δ>0,邻域U(x3,8)必含一个(因而无数多个)有理数。事实上,取 p,q∈Q,使p≤x0-8,x≤q,则p与q的算术平均(p+q)/2是严格介于p与q的有理数,另 言之,与q的二等分点是有理点。若将闭区间[,g]三等分,则每一等分点都是有理数。如此 等分下去,则总有一个(因而无数多个)等分点落在开区同(x。-0,xo)中。 同理,无理数也在R中稠密。 【定义1.2】对数集A,若有常数M(m),使得对任意的x∈A,有 ≤M 则称A为有上(下)界,并称M(m)是A的一个上(下)界。 既有上界又有下界的数集称为有界数集,否则称为无界数集。 显然,若一数集有上(下)界,则必有无数多个上(下)界事实上,凡是大于(小于)上(下)界 M(m)的数,都是上(下)界。在数轴上看,凡是位于M(m)右(左)侧的点都是上(下)界。但是, 最小(大)的上(下)界却只能有一个。我们把实数系的这一重要事实表述成一条公理。 【公理】任何非空的有上界的实数集A,必存在最小上界;称此最小上界为A的上确界, 记为supA 注意,公理所说的上确界未必属于A例如,A={x:x∈Q,x2<2}是有上界的,上确界显然 是√2,但√2∈A。 若A的上确界属于A,则称A为上确界可达。此时,上确界显然便是A中最大的数。 显然,p=supA等价于: (1)对A中的每一个x,有x≤; (2)对于任意小的正数e,都存在属于A的x,使x6> (1)是说g是A的一个上界,(2)则说p是A的最小上界 关于有下界的数集,由公理很容易得出下面的结果 【定理1.1】任何有下界的非空实数集A,必存在最大下界,称为A的下确界,记为 inf a 实数a的绝对值|a|,在数轴是点a与0的距离 从绝对值的定义可以直接证明,对任何a,b∈R,有下述三角不等式成立 la+hsla[+l6, la|-161sla-bl 从而也就有 a-b≤|a-c|+|c-b 其中c是任意的实数。 习题1.1 1.证明下列集合等式 (1)A∪B=B∪A (2)A∩B=B∩ (3)(AUB)nC=(A∩C)U(B∩C) (4)(A∩B)UC=(A∪C)∩(B∪C) 2设X=11,2,3,4,5},A={1,4},B=1,2,5},C={2,4}。确定下面的集合 (1)AUB (2)AnB (3)C\A (4)AC 3设∫:x|→x2+1,x∈R,g:y|→√y,y∈(,+∞)试求gf与fg的定义域,并求g°f J°g 4.用R2表示xy-平面。称映射p:(x,y)→x为R2到x轴的投影,问p是否为单射或满 射 5.凡与N一一对应的集合称为可数无限集,简称可数集。证明: (1)正偶数集与正奇数集都是可数集; (2)整数集Z是可数集。 6.设f:A→B与g:B→+C都是到上的一一对应,证明: (1)gf也是到上的一一对应;(2)(g°/)-1=(-1)。(g-1)。 7.设A={ },求supA,infA,问上、下确界是否可达? 8.证明:为有界数集等价于:存在M>0,使任意x∈A,有|x≤M。 9.设A,BCR是非空有界集,证明 若ACB,则infB≤ inf a≤supA≤supB 10.设ACR是非空有界集,令-A={x:-x∈A},则infA=-sup(-A)和sup1= inf(-A)。 11.设a,b∈R,证明三角不等式成立: (1)|a+b≤|a|+|b|;(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|。 2数列与极限 所谓数列是指按先后顺序列出的一数串 a1,a2,.,an. 简记为{an}m=1或{an}。数列中的每个数称为数列的项,具有代表性的第n项an称为数列的通 项 数列{an}也可看成映射f:N→R,其中a,=f(z) 我们研究数列,主要是研究数列的项,即着n的增大,看其变化趋势。例如考查下列数 列 2’3 ·,(—1)+1 (2.2) 1,0,1,0 1-(-1 (2.3) (2.4) 数列(21)和(2,2)虽然变化的方式很不相同随着n的增大,前者从正的方向逐渐变小,而后 者是正负相间地跳动,但两数列随着n的无限增加都与常数0无限接近。数列(2.3)是1与0 的简单重复,不会无限接近于任何常数数列(2.4)随着n的增大而越来越大,因而不会趋近于 任何常数。在上述四个数列的分析中我们使用了“n无限增加”及“与常数无限接近”这些描述 性语言,这只是可以理解却含糊不清的语言。为了在数学上精确刻画,给出下面的定义。 【定义21】设(an}为一数列。a为一个常数,对于任意给定的e>0,N∈N使得当n N时,有 E 则称数列{an}收敛或收敛于a,并称a为{an}的极限,记为 liN u 或an→+a(n+∞) n-o 不收敛的数列称为发散数列 数列(2.1)和(2.2都是收敛数列其极限都是0;数列(2.3)和(2.4)都是发散数列 式(2.5)等价于 <aE 在数轴上,这意味着,对于任意的邻城Ua,),只可能有有限项(在前N项之中)在此邻域之外 (图2.1)。 定义2.1用和N分别对“无限接近”和“无限 增大”的含义给予精确地刻画。习惯上,我们称“ε N”语言 在应用中,还常常遇到证明数列{an}不收敛于 a+E 的问题。用“ε-N”语言,便应该是: 存在E0>0,对于任意大的N∈N,总有nM∈N, 图2.1 >N,且 通过1.4节子数列概念的学习,读者会对上述“-N”语言描述不收敛于a有进一步的理解。 为了书写简便,引进两个符号。V表示“任意”、“全体”或“每一个”;表示“存在”、有”。 【例2.1】求证1m+1=1 证】对于E>0,欲使 成立,只须n>。取N=[],这里[x]表示小于或等于x的最大整数。当n>N时,便有 由定义2.1,tim+1 【例2.2】求证1m1=0(a>0) 【证】对于Ⅴε>0,欲使 <E或 成立,只须x>(1)。取N )a。当n>N时,有 0<E 即 0 n→∞071 【例2.3】若ima,=a,求证m2+a++a=a。 【证】由于iman=a,对于E>0,彐N1,当n>N1时,有 而 +a2 )+( P (a1-a)+…+(ax,-a),|(ax1+1-a)+…+(an-a) n E (a1-a)+…+(a 其中 72 欲使I<只需x2{(a2-a)+…+(as1-a) 令 a)+ ) 取N=maxN1N2,这里max{x1,x2,…,xn}表示括号里n个实数的最大一个。当n>N时, 有I 从而 lrQ1+n2+、+l=a 【例2.4】求证lmyn=1 我们要证的是只要使n充分大,便可使|yn-1|=%n-1任意小。现在令hn=yn- 1。于是n=1+hn从而 n=(1+h1)=1+mb,分(n=1)h2+…+h>(n 2! 注意n>2时,n-1 所以便有 2 亦即 这里已经得出了根据E选取N的办法。 【证】对于yc>0,令N=mx{2.[g],则当n>N时,”>2且>,于是 1|=hn< 2 E 即 Lr va 习题1.2 1.以下几种叙述与极限lman=a的定义是否等价,并说明理由 (1)ye>0,3n∈N,当n≥n时,有|an-a|≤∈。 (2)yh∈N,n∈N,当n≥n时,有an-ak (3)有无限多个e>0,对每个E,3N(E)∈N,当n>N(E),有la,al≤E。 (4)yc>0,有无限多个an,有ana|<e (5)k∈N,只有有限多个an位于区间(a-k,a+k)之外 (6)yc>0,3N,当n>N时,有|an-a|<b,其中b是一固定的正数。 2.证明下列极限 :(t) r…c 2n+12 (2)lim=0 (3)lim(√n+1-√n)=0 (4)lim2. (5)lim[-1 ·14·6 2n·(2n+2)4 3证明lm=0,02”2”0。 0,li: 4.证明若lq|<1,则lmg"=0 5证明若lman-a,则lm|an=|a|,反之是否成立,举例说明。 6.设数列{an}有界,又imb=0,则 lim a b=0 7.设0<a<1,则 lim na”=0,limn2a"=0,limn2a"=0。 1.3收敛数列的性质和运算 关于收敛数列的性质,我们总结为下面的三个定理和一个推论 定理31】(惟一性)如果数列{an}收敛,则它的极限是惟一的。 【证】设有ma,=a,ma=b,则对于e>0,存在自然数N,当n>N1时,有 同样,存在自然数N2,当n>N2时,有 lan-b< 取N=max{N:,N2}。当n>N时,有 a-b|≤|a…an|+ 由于c的任意性,必有a=b。从而数列{an的板限惟 【定理3.2】(有界性)如果数列{an}收敛,则数列有界。 证】设!ma=a,对于E=1,存在自然数N,当n>N时,有 <e≈1 从而,当n>N时 1<1+|a 取M=max{|a1|,|a21,…,aN|,1+|al},则 ≤M 即数列{an}是有界的 从定理3.2知,若数列{an}无界,则该数列必发散。 定理3.2的逆命题不成立,即数列{an)有界,末必一定收敛。例如数列{(-1)4}有界,但发 散 【定理3.3】(保序性)设lman=a, lim b=b。 (1)若a>b,则存在N使当n>N时,有an>b (2)若存在N,当n>N时,有an≥bn,则a≥b。 【证】先证(1)。取c-0>0,则存在N1,当n>N1时,有|{an-a 从而 2;同样,存在N,当n>N2时,有1么-b1<9 a=b a+b 1<,从而b≤b+ -b=4-b;取N= max{N,N2},当n>N时 再用反证法证(2)。如果a<b,则由(1),N,当n>N时,有a,<b,这与已知矛盾。 注意在定理3.3(2)中,即使a,>b1,也未必有a>b。例如数{1:和(}。当n>1时, 但两个数列的极限都是0 【推论】(保号性)如果 lim a=a,且a≠0,则存在N,当n>N时,a,与a同号 【证】在定理3.3(1)中,取b=0,即得。 关于收敛数列的运算,我们有下面的定理。 【定理3.4】如果数列{an},{n}都收敛,则它们的和、差、积、商(分母的极限不为0)的数 列也收敛,且 lim(an土b,)= lim a士limb iman·bn= lim a· lim h li: (这里lmb,≠ 证】设 lim b.-h 先证式(.1)。由式(3.4)知,E>0,3N1当n>N:时,有|a-a|<;3N2,当n>N 时,有|,<。取N=max{N1,N2},当n>N时,有 (an士b)-(a±b)|≤|an-a|+h-b<E十∈=2∈ 即式(3.1)成立。 冉证(3.2)。由收敛数列的有界性,存在常数M>0,使 同理取N=max{N,N2},当n>N时,有 lamb, -absa,bu-a,b u, b lan!bb|+|ana|b≤ ME+|b|E=(M+|b.) 即式(3.2)成立 最后证(3.3)。由于limb,一b≠0,对于 b 2→0,存在N3,当n>N3时,有 b|-|b≤b,一6 从而 于是 6.16 取N=max:N1,N2,N3}。当n>N时,有

...展开详情
试读 127P 工科数学分析
立即下载 低至0.43元/次 身份认证VIP会员低至7折
    一个资源只可评论一次,评论内容不能少于5个字
    Ryan_Ye_1987 没有目录,而且只是上册,版本很老!
    2019-03-13
    回复
    上传资源赚积分,得勋章
    最新推荐
    工科数学分析 50积分/C币 立即下载
    1/127
    工科数学分析第1页
    工科数学分析第2页
    工科数学分析第3页
    工科数学分析第4页
    工科数学分析第5页
    工科数学分析第6页
    工科数学分析第7页
    工科数学分析第8页
    工科数学分析第9页
    工科数学分析第10页
    工科数学分析第11页
    工科数学分析第12页
    工科数学分析第13页
    工科数学分析第14页
    工科数学分析第15页
    工科数学分析第16页
    工科数学分析第17页
    工科数学分析第18页
    工科数学分析第19页
    工科数学分析第20页

    试读已结束,剩余107页未读...

    50积分/C币 立即下载 >