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你也能懂的微积分

前面接连发了三篇麦克斯韦方程组的文章（积分篇、微分篇和电磁波篇），从理论上来

说，讲麦克斯韦方程组不讲微积分是不行的，因为人家本来就是一组积分方程和一组微

分方程。

但是，为了让更多人，尤其是中学生也能理解这“最美的公式”，长尾君还是预设不懂微

积分的人也能看懂文章，于是在文章里也只是非常简单地提了一些必要的微积分。现在

麦克斯韦方程组讲完了，我们再来好好聊一聊微积分。

微积分有多重要相信大家多多少少心里都有点数，搞数学的不会微积分就跟中学生不

会“加减乘除”一样，基本上啥都干不了。牛顿是物理学界的封神人物，然而牛顿还凭借

着微积分的发明，跟阿基米德、高斯并称为世界三大数学家，这是何等荣耀？这又从侧

面反映出微积分是何等地位？

除了重要，很多人对微积分的另一个印象就是难。在许多人眼里，微积分就是高深数学

的代名词，就是高智商的代名词，许多家长一听说谁家孩子初中就学了微积分，立马就

感叹这是别人家的天才。其实不然，微积分并不难，它的基本思想甚至是非常简单的，

不然也不会有那么多初中生学习微积分的事了。

所以，大家在看这篇文章的时候不要有什么心理负担，微积分并不是什么很难的东西，

我们连高大上的麦克斯韦方程组都看过来了，还怕什么微积分对不对？只要跟着长尾科

技的思路走，我相信一般的中学生都是可以非常顺畅地理解微积分的。

好，下面进入正题。

01从面积说起

我们从小学就学了各种求面积的公式，什么长方形、三角形、圆、梯形等等，然后“求阴

影部分的面积”就成了小时候的一块心理阴影。

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他先画了一个蓝色的大三角形ABC（这个三角形并不是随意画的，抛物线在A点处的切

线必须跟BC平行。这里我们不细究，只要知道能够画出这样一个三角形就行）。当然，

这个三角形ABC的面积肯定比弓形的面积小，小多少呢？显而易见，小了左右两边两个

小弓形的面积。

如果我们能把这两个小弓形的面积求出来，加上三角形ABC就可以求出原来大弓形的面

积了。但是，如何求这两个小弓形的面积呢？答案是：继续用三角形去逼近！

于是，阿基米德又使用同样的方法，在这两个小弓形里画了两个绿色的三角形。同样

的，在这两个小弓形被两个绿色三角形填充之后，我们又多出了四个弓形，然后我们又

用四个黄色的三角形去填充剩余的弓形……

很显然，这个过程可以无限重复下去。我们可以用1个蓝色，2个绿色的，4个黄色的，8

个红色的等无穷多个三角形来逼近这个弓形。我们也能很直观地感觉到：我们使用的三

角形越多，这些三角形的面积之和就越接近大弓形的面积。用三角形的面积之和来逼近

这个弓形面积，这我没意见，但关键是你要怎样求这么多三角形（甚至是无穷多个三角

形）的面积呢？

这就是阿基米德厉害的地方，他发现：每次新画的三角形的面积都是上一轮三角形面积

的1/4。也就是说，2个绿色三角形的面积之和刚好是1个蓝色三角形面积的1/4；4个黄

色的三角形的面积之和刚好是2个绿色三角形的1/4，那么就是1个蓝色三角形面积的

1/16，也就是（1/4）²……

如果我们把所有三角形的面积都折算成第一个蓝色三角形ABC（用△ABC表示）的面

积，那么大弓形的面积S就可以这样表示：

S=△ABC+（1/4）△ABC+（1/4）²△ABC +（1/4）³△ABC……

这东西放在今天就是一个简单的无穷级数求和问题，但阿基米德是古希腊人，那是秦始

皇都还没统一中国的年代，什么高等数学更是不存在的，怎么办呢？

阿基米德计算了几项，直觉告诉他这个结果在不断地逼近（4/3）△ABC，也就是说你用

的三角形越多，面积S就越接近（4/3）△ABC。于是阿基米德就猜测：如果我把无穷多

个三角形的面积都加起来，这个结果应该刚好等于（4/3）△ABC。

当然，光猜测是不行的，数学需要的是严格的证明，然后阿基米德就给出了证明。他证

明如果面积S大于（4/3）△ABC会出现矛盾，再证明如果它小于（4/3）△ABC也会出现

矛盾，所以这个面积S就只能等于（4/3）△ABC，证毕。

就这样，阿基米德就严格地求出了抛物线和直线围成的弓形的面积等于△ABC的4/3，他

使用的这种方法被称为“穷竭法”。

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