1.
,
lim
n→∞
u
n
, Cauchy
2.
!"#
(
$%"#
,
$&"#
,
$'"#
,
()"#
,
*+"#
)
3.
,-
(Leibnitz
"#
,
./'"#
,
./
(
)
01
)
23
1.
"4560
(a)
∞
X
n=1
arctan
1
2n
2
(b)
∞
X
n=1
1
n
n
√
n
(c)
∞
X
n=1
n + 1
2n + 1
n
(d)
∞
X
n=3
1
n(ln n)
p
(ln ln n)
q
, (p > 0, q > 0) (e)
∞
X
n=1
arctan
3
n
n!
(n
n
)!
(f)
∞
X
n=1
(1 − cos
x
n
) (g)
∞
X
n=1
n!
x
n
n
, x > 0
7
(a).
8
f(x) = arctgx − x,
f(0) = 0; f
0
(x) =
1
1 + x
2
− 1 < 0 ⇒ f(x)
9;:
⇒ f(x) < 0 ⇒ arctg x < x ⇒ arctg
1
2n
2
<
1
2n
2
⇒
.
(b).
<>=
n
√
n
?
n ≥ 2
@A9ABACA:ADAAFE
1⇒
GAH
N,
?
n > N
@AI
n
√
n < 2⇒
1
n
n
√
n
>
1
2n
⇒
JKL
.
(c). lim
n→∞
n
√
a
n
lim
n→∞
=
n + 1
2n + 1
=
1
2
⇒
J
.
(d).
<=
p, q > 0 ⇒ a
n
9:D
lim
n→∞
a
n
= 0.
(1). If p = 1, then
Z
+∞
3
dx
xlnx(lnlnx)
q
=
1
(1 − q)(lnlnx)
|
+∞
3
, q 6= 1;
lnlnlnx|
+∞
3
, q=1.
⇒
?
q > 1
@
;
?
q ≤ 1
KL
.
(2).
M
p 6= 1,
NOP
lnx = t ⇒
Z
+∞
3
dx
x(lnx)
p
(lnlnx)
q
=
Z
+∞
3
dx
t
p
(lnx)
q
.
?
p > 1
@Q
η > 0
R
p − η > 1.
SE
lim
t→∞
t
p−η
1
t
p
(lnt)
q
= lim
t→∞
1
t
η
(lnt)
q
= 0 ⇒
Z
+∞
ln3
dx
t
p
(lnt)
q
⇒
J
.
p < 1
@Q
τ > 0
R
p + τ < 1.
SE
lim
t→∞
t
p+τ
1
t
p
(lnt)
q
= lim
t→∞
t
τ
(lnt)
q
= +∞ ⇒
Z
+∞
ln3
dx
t
p
(lnt)
q
KL
⇒
JKL
.
