行列式是线性代数中的一个基本概念，它在矩阵理论和多项式理论中起着核心作用。在这些行列式的练习题目中，我们看到涉及了行列式的多个方面，包括定义、性质、计算以及与线性方程组的关系。
1. **逆序数**：在排列中，如果一个较小的数位于一个较大的数之前，我们就称这为一个逆序对。例如，排列1 3 ... 2 4 ...中，数字2在3之后，形成一个逆序对，而排列1 3 ... 2中，2在所有其他数字之后，形成了n-1个逆序对（n是排列的元素数量）。
2. **行列式项的符号**：在n阶行列式中，每一项都有一个特定的符号，由这一项中行标和列标的相对顺序决定。如果行标和列标是递增的，那么这一项的符号为正；反之，如果存在一个逆序对，则符号为负。
3. **奇排列**：在所有n元排列中，奇排列是指包含奇数个逆序对的排列，它们的个数可以通过二项式定理得到，即2^(n-1)。
4. **选择题**：
- 计算行列式通常需要利用行列式的定义，即对角线元素相乘减去非对角线元素相乘的和。
- 在多项式中查找特定项的系数，需要理解多项式的展开和排列组合。
- 四阶行列式展开式中因子的项数可以由排列组合的原理计算得出。
5. **行列式定义**：
- 行列式的定义可以按照行或列的标准顺序给出，也可以是任意顺序排列，关键在于确定每一项的符号和元素选取。
6. **行列式的值与零元素的关系**：如果n阶行列式中零元素的数量大于n-1，那么根据拉普拉斯展开或者余子式定义，至少有一行（或列）的所有元素乘积为零，因此整个行列式的值也为零。
7. **线性方程组与行列式**：
- 克莱姆法则指出，对于线性方程组，如果系数行列式不为零，那么方程组有唯一解。
- 齐次线性方程组的系数行列式为零是方程组有非零解的必要条件，因为如果行列式不为零，方程组只有零解。
练习题中的计算部分涉及到具体的行列式展开和计算，如二阶、三阶以及n阶行列式。解题时，可以采用对角线法则、行（列）操作、拉普拉斯展开或余子式方法。
1. **填空题**：要求填写行列式的值、线性方程组的根等，需要对行列式的基本性质和方程组的解有深入理解。
2. **计算题**：实际计算行列式，可能涉及到行列式的各种展开形式和化简技巧。
通过这些练习题，学习者可以巩固行列式的概念，掌握计算技巧，并理解其在解决线性方程组问题中的应用。在解答这些题目时，应熟练运用行列式的性质和计算规则，例如交换行或列改变行列式符号、行（列）乘以常数不影响行列式值、行（列）的线性组合对应行列式的线性组合等。同时，对于较大的行列式，利用对角线元素、分块、对角线化等方法可以简化计算。
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